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(14分)已知拋物線、橢圓、雙曲線都經過點M(1，2)，它們在x軸上有共同焦點，橢圓和雙曲線的對稱軸是坐標軸，拋物線的頂點為坐標原點。

（Ⅰ）求這三條曲線方程；

（Ⅱ）若定點P(3，0)，A為拋物線上任意一點，是否存在垂直于x軸的直線l被以AP為直徑的圓截得的弦長為定值？若存在，求出l的方程；若不存在，說明理由。

解析：（Ⅰ）設拋物線的方程為

∵M(1，2)在拋物線上，∴ 即p＝2

∴拋物線方程為，焦點為(1，0)                     ………3分

∵橢圓、雙曲線與共焦點，且對稱軸為坐標軸，分別設其方程為

，

∵橢圓、雙曲線都經過點M(1，2)

∴解得

∴橢圓與雙曲線的方程分別為、

                                                      ………7分

（Ⅱ）設為拋物線上任意一點，則

又P(3，0)，以AP為直徑的圓的半徑

圓心B為AP中點，∴B，設直線l：x＝n，則圓心B到l的距離d=

則弦長u＝２＝

        ＝

當n＝２時，u為定值，∴滿足題意的直線l存在，其方程為x＝２

                                                            ………14分
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

（本小題滿分14分）已知拋物線，橢圓經過點，它們在軸上有共同焦點，橢圓的對稱軸是坐標軸．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）若是橢圓上的點，設的坐標為（是已知正實數），求與之間的最短距離．

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科目：高中數學 來源：2014屆廣東汕頭金山中學高二上期末考試文科數學試卷（解析版） 題型：解答題

（本小題滿分14分）已知拋物線,焦點為,一直線與拋物線交于兩點,且,

（1）求的中點的橫坐標

（2）若的垂直平分線恒過定點求拋物線的方程;

（3）求在條件（2）下面積的最大值.

 

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科目：高中數學 來源：2012-2013學年廣東省高三第四次月考理科數學試題（解析版） 題型：解答題

（本小題滿分14分）

已知拋物線的頂點為坐標原點，焦點在軸上. 且經過點，

（1）求拋物線的方程；

（2）若動直線過點，交拋物線于兩點，是否存在垂直于軸的直線被以為直徑的圓截得的弦長為定值？若存在，求出的方程；若不存在，說明理由.

 

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科目：高中數學 來源：2011年山東省青島市高考模擬練習題（一）數學（理） 題型：解答題

（本小題滿分14分）已知拋物線的焦點以及橢圓的上、下焦點及左、右頂點均在圓上.

 

(Ⅰ)求拋物線和橢圓的標準方程；

(Ⅱ)過點的直線交拋物線于、兩不同點,交軸于點，已知為定值.

(Ⅲ)直線交橢圓于兩不同點，在軸的射影分別為，，若點滿足：，證明：點在橢圓上.

 

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科目：高中數學 來源：2010-2011學年上海市普通高等學校高三春季招生數學卷 題型：解答題

（本題滿分14分）已知拋物線

（1）△ABC的三個頂點在拋物線F上，記△ABC的三邊AB、BC、CA所在的直線的斜率分別為，若A的坐標在原點，求的值；

（2）請你給出一個以為頂點、其余各頂點均為拋物線F上的動點的多邊形，寫出各多邊形各邊所在的直線斜率之間的關系式，并說明理由

 

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