若函數(shù)f(x)=(a-1)2-2sin2x-2acosx(0≤x≤
π2
)的最小值是-2，求實(shí)數(shù)a的值，并求出此時f（x）的最大值．
分析：利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系式，化簡函數(shù)的表達(dá)式，即可用cosx表示f（x）；換元t=cosx，0≤x≤
π
2
則t∈[0，1]，問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)閉區(qū)間上的最小值問題，通過分類
a
2
＜ 0，0≤
a
2
≤1，
a
2
＞1，分別利用f（x）的最小值是-2，求實(shí)數(shù)a的值．
解答：解：函數(shù)f（x）=（a-1）2-2sin2x-2acosx
=（a-1）2-2+cos2x-2acosx
=2cos2x-2acosx+a2-2a-1．令t=cosx，則t∈[0，1]，
y=2(t-
a
2
)2+
a2
2
-2a-1，t∈[0，1]
①當(dāng)
a
2
≤0，即a≤0時，ymin=(a-1)2-2=-2，故a=1（舍）
②當(dāng)0＜
a
2
＜1，即0＜a＜2時，ymin=
a2
2
-2a-1=-2
解得a=2±
2
，取a=2-
2
，此時ymax=-1
③當(dāng)
a
2
≥1，即a≥2時，ymin=a2-4a+1=-2
解得a=1（舍）或a=3，，此時ymax=2
綜上，當(dāng)a=2-
2
時ymax=-1；當(dāng)a=3時ymax=2
點(diǎn)評：本題考查換元法，分類討論的數(shù)學(xué)思想，二次函數(shù)閉區(qū)間上的最值的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，計(jì)算能力．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

給出下列四個命題：
①若函數(shù)f(x)=a(x3-x)在區(qū)間(-
3
3
，
3
3
)為減函數(shù)，則a＞0；
②函數(shù)f(x)=lg(ax+1)的定義域是{x|x＞-
1
a
}；
③當(dāng)x＞0且x≠1時，有l(wèi)nx+
1
lnx
≥2；
④若M是圓（x-5）2+（y+2）2=34上的任意一點(diǎn)，則點(diǎn)M關(guān)于直線y=ax-5a-2的對稱點(diǎn)M′也在該圓上．
所有正確命題的序號是
 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若函數(shù)f(x)=
(a-2)xx≥2
(
1
2
)x-1		x＜2
是R上的單調(diào)減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）
A、（-∞，2）
B、(-∞，
13
8
]
C、（0，2）
D、[
13
8
，2)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若函數(shù)f(x)=(a-
1
ex+1
)x是偶函數(shù)，則f（ln2）=
1
6
ln2
1
6
ln2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對于函數(shù)y=f（x），如果存在區(qū)間[m，n]，同時滿足下列條件：①f（x）在[m，n]內(nèi)是單調(diào)的；②當(dāng)定義域是[m，n]時，f（x）的值域也是[m，n]，則稱[m，n]是該函數(shù)的“和諧區(qū)間”．若函數(shù)f(x)=
a+1
a
-
1
x
(a＞0)有“和諧區(qū)間”，則函數(shù)g(x)=
1
3
x3+
1
2
ax2+(a-1)x+5的極值點(diǎn)x1，x2滿足（　�。�
A、x1∈（0，1），x2∈（1，+∞）
B、x1∈（-∞，0），x2∈（0，1）
C、x1∈（-∞，0），x2∈（-∞，0）
D、x1∈（1，+∞），x2∈（1，+∞）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若函數(shù)f(x)=
(a-2)x+3a-2，0≤x≤2
ax，x＞2
是一個單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍（　�。�
A、（1，2]∪[3，+∞）
B、（1，2]
C、（0，2]∪[3，+∞）
D、[3，+∞）

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