Question

已知方程x²-8x+6lnx-m=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)m范圍為    ．

Answer 1

【答案】分析：遇到方程根的問題，一般是構(gòu)造新函數(shù)，題目轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的零點(diǎn)問題，通過導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的最值，把函數(shù)的最值同0進(jìn)行比較，得到結(jié)果．
解答：解：方程x²-8x+6lnx-m=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解
則函數(shù)m（x）=x²-8x+6lnx-m的圖象與x軸的正半軸有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)．
∵m（x）=x²-8x+6lnx-m，
∴，
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，m'（x）＞0，m（x）是增函數(shù)；
當(dāng)x∈（0，3）時(shí)，m'（x）＜0，m（x）是減函數(shù)；
當(dāng)x∈（3，+∞）時(shí)，m'（x）＞0，m（x）是增函數(shù)；
當(dāng)x=1，或x=3時(shí)，m'（x）=0．
∴m（x）_最大值=m（1）=-m-7，m（x）_最小值=m（3）=-m+6ln3-15．
∵當(dāng)x充分接近0時(shí)，m（x）＜0，當(dāng)x充分大時(shí)，m（x）＞0．
∴要使m（x）的圖象與x軸正半軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)，必須且只須
即6ln3-15＜m＜-7．
故答案為：6ln3-15＜m＜-7
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等基本知識(shí)，考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法，考查運(yùn)算能力，考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類與整合等數(shù)學(xué)思想方法和分析問題、解決問題的能力．