Question

函數(shù)y=f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且對(duì)任意的x∈R，都有f（x+4）=f（x）成立，當(dāng)x∈（0，2]時(shí)，f（x）=-x²+1．
（Ⅰ）當(dāng)x∈[4k-2，4k+2]（k∈Z）時(shí)，求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）求不等式f（x）＞-1的解集．

Answer 1

（Ⅰ）當(dāng)x=0時(shí)，∵f（0）=-f（0），∴f（0）=0．…（1分）
當(dāng)x∈[-2，0）時(shí)，-x∈（0，2），f（x）=-f（-x）=x²-1                                 …（3分）
由f（x+4）=f（x），知y=f（x）又是周期為4的函數(shù)，所以當(dāng)x∈[4k-2，4k]時(shí)，x-4k∈[-2，0）
∴f（x）=f（x-4k）=（x-4k）²-1，…（5分）
當(dāng)x∈（4k，4k+2]時(shí)x-4k∈（0，2]，∴f（x）=f（x-4k）=-（x-4k）²+1    …（7分）
故當(dāng)x∈[4k-2，4k+2]（k∈Z）時(shí)，函數(shù)f（x）的解析式為

(x-4k)2-1，x∈[4k-2，4k) 0          x=4k，(k∈Z) -(x-4k)2+1，x∈(4k，4k+2]

      …（9分）
（Ⅱ）當(dāng)x∈（-2，2]時(shí)，由f（x＞-1），得

-2＜x＜0 x2-1＞-1

，或

0＜x≤2 -x2+1＞-1

，或x=0．
解之，得-2＜x＜

2

，…（12分）
∵函數(shù)y=f（x）的周期為4，∴f（x）＞-1的解集為{x|4k-2＜x＜4k+

2

}（k∈Z）…（14分）