Question

若方程

x2

4-t

+

y2

t-1

=1所表示的曲線為C，給出下列四個命題：
①若C為橢圓，則1＜t＜4；      
②若C為雙曲線，則t＞4或t＜1；
③曲線C不可能是圓；        
④若C表示橢圓，且長軸在x軸上，則1＜t＜

3

2

．
其中真命題的序號為

 

（把所有正確命題的序號都填在橫線上）．

Answer 1

分析：據橢圓方程的特點列出不等式求出t的范圍判斷出①錯，據雙曲線方程的特點列出不等式求出t的范圍，判斷出②對；據圓方程的特點列出方程求出t的值，判斷出③錯；據橢圓方程的特點列出不等式求出t的范圍，判斷出④錯．

解答：解：若C為橢圓應該滿足

4-t＞0 t-1＞0 4-t≠t-1

，即1＜t＜4且t≠

5

2

，故①錯；
若C為雙曲線應該滿足（4-t）（t-1）＜0，即t＞4或t＜1，故②對；
當4-t=t-1，即t=

5

2

時，表示圓，故③錯；
若C表示橢圓，且長軸在x軸上應該滿足4-t＞t-1＞0，則1＜t＜

5

2

，故④錯．
故答案為：②．

點評：本題考查了圓錐曲線的標準方程，熟練掌握橢圓、雙曲線、圓的標準方程是解題的關鍵．