Question

設(shè)圓C的圓心與雙曲線

x2

a2

-y²=1（a＞0）的右焦點(diǎn)重合，且該圓與此雙曲線的漸近線相切，若直線x-

3

y=0被圓C截得的弦長(zhǎng)等于1，則a的值為（　　）

• A．

  2

• B．

  3

• C．2
• D．3

Answer 1

分析：先利用圓與雙曲線的漸近線相切得圓的半徑，再利用圓C被直線x-

3

y=0被圓C截得的弦長(zhǎng)等于1，根據(jù)勾股定理，確定等量關(guān)系，即可求出a．

解答：解：設(shè)圓心坐標(biāo)為（

a2+1

，0），
∵雙曲線方程為

x2

a2

-y²=1（a＞0），所以雙曲線的漸近線y=

x

a

，即x-ay=0．
∵圓與雙曲線的漸近線相切，
∴圓心到直線的距離等于半徑，即得r=

a2+1

a2+1

=1，
又∵圓C被直線l：x-

3

y=0截得的弦長(zhǎng)等于1，
∴圓心到直線l：x-

3

y=0的距離d=

1- 1 4

=

a2+1

1+3

∴a²=2
又a＞0，∴a=

2

故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查點(diǎn)到直線的距離公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，考查解決問(wèn)題的能力和運(yùn)算能力．