Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=2a_n-2；數(shù)列{b_n}的首項(xiàng)為1，點(diǎn)P（n，b_n）都在斜率為2的同一條直線l上（以上n∈N*）．
求：（1）數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{a_bn}、{b_an}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析：（1）要求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式，先要根據(jù)已知條件判斷，數(shù)列是否為等差（比）數(shù)列，由S_n=2a_n-2，不難得到數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，而由由題意可知，

bn-b1

n-1

=2
∴b_n=2n-1易得數(shù)列{b_n}是一個(gè)等差數(shù)列．求出對(duì)應(yīng)的基本量，代入即可求出數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由（1）中結(jié)論，我們易得基本數(shù)列{a_bn}、{b_an}，即數(shù)列{a_bn}的通項(xiàng)公式一個(gè)等比數(shù)列的形式，數(shù)列{b_an}的通項(xiàng)公式一個(gè)等比數(shù)列與一個(gè)常數(shù)數(shù)列的形式，利用等差等比數(shù)列的求和公式即可求數(shù)列{a_bn}、{b_an}的前n項(xiàng)和．

解答：解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=2a₁-2∴a₁=2
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2-（2a_n-1-2）=2a_n-2a_n-1
∴a_n=2a_n-1
∴{a_n}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，即a_n=2ⁿ
由題意可知，

bn-b1

n-1

=2
∴b_n=2n-1
（2）由（1）可知：abn=2bn=22n-1，
數(shù)列{a_bn}的前n項(xiàng)和為21+23+25+…+22n-1=

2-22n-1•4

1-4

=

22n+1-2

3

由（1）可知：b_an=2a_n-1=2ⁿ⁺¹-1，
數(shù)列{b_an}的前n項(xiàng)和為：

22-1+23-1+24-1+…+2n+1-1 =(22+23+24+…+2n+1)-(1+1+1+…+1) = 22-2n+1×2 1-2 -n =2n+2-n-4

點(diǎn)評(píng)：解答特殊數(shù)列（等差數(shù)列與等比數(shù)列）的問題時(shí)，根據(jù)已知條件構(gòu)造關(guān)于基本量的方程，解方程求出基本量，再根據(jù)定義確定數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，然后代入進(jìn)行運(yùn)算．