Question

求函數(shù)f（x）=x²-2ax-1在[0，2]上的值域．

Answer 1

分析：先判斷二次函數(shù)的開口方向及對稱軸，然后根據(jù)對稱軸與已知區(qū)間的位置關(guān)系進(jìn)行求解函數(shù)的最值，進(jìn)而可求值域

解答：解：∵函數(shù)f（x）的圖象開口向上，對稱軸為x=a
①當(dāng)a＜0時，函數(shù)f（x）在[0，2]上單調(diào)遞增
∴f（x）_max=f（2）=3-4a，f（x）_min=f（0）=-1
值域?yàn)閇-1，3-4a]…（3分）
②當(dāng)0≤a＜1時，函數(shù)f（x）在[0，a]上單調(diào)遞減，在[a，2]上單調(diào)遞增
∴f（x）_max=f（2）=3-4a，f（x）_min=f（a）=-1-a²
值域?yàn)閇-a²-1，3-4a]…（5分）
③當(dāng)1≤a＜2時函數(shù)f（x）在[0，a]上單調(diào)遞減，在[a，2]上單調(diào)遞增
∴f（x）_max=f（0）=-1，f（x）_min=f（a）=-1-a²
值域?yàn)閇-a²-1，-1]…（8分）
④當(dāng)a≥2時，函數(shù)f（x）在[0，2]上單調(diào)遞減
∴f（x）_max=f（0）=-1，f（x）_min=f（2）=3-4a
值域?yàn)閇3-4a，1]

點(diǎn)評：本題主要考查了二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的求解，解題的關(guān)鍵是確定函數(shù)的對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，體現(xiàn)了分類討論思想的應(yīng)用．