Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²+2ax-a-1，x∈[0，2]，a為常數(shù)．
（1）求f（x）的最小值g（a）的解析式；
（2）在（1）中，是否存在最小的整數(shù)m，使得g（a）-m≤0對(duì)于任意a∈R均成立，若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）對(duì)稱軸x=-a
①當(dāng)-a≤0?a≥0時(shí)，
f（x）在[0，2]上是增函數(shù)，x=0時(shí)有最小值f（0）=-a-1…（1分）
②當(dāng)-a≥2?a≤-2時(shí)，
f（x）在[0，2]上是減函數(shù)，x=2時(shí)有最小值f（2）=3a+3…（1分）
③當(dāng)0＜-a＜2?-2＜a＜0時(shí)，
f（x）在[0，2]上是不單調(diào)，x=-a時(shí)有最小值f（-a）=-a²-a-1…（2分）
∴，g(a)=

-a-1 -a2-a 3a+3

a≥0 -1 -2＜a＜0 a≤-2

…（2分）
（2）存在，
由題知g（a）在(-∞，-

1

2

]是增函數(shù)，在[-

1

2

，+∞)是減函數(shù)
∴a=-

1

2

時(shí)，g(a)max=-

3

4

，…（2分）
g（a）-m≤0恒成立
?g（a）_max≤m，
∴m≥-

3

4

…（2分），
∵m為整數(shù)，
∴m的最小值為0…（1分）