Question

數列{a_n} 的各項均為正數，a₁=p，p＞0，k∈N^*，a_n+a_n+k=f（p，k）•pⁿ．
（1）當k=1，f（p，k）=p+k，p=5時，求a₂，a₃；
（2）若數列{a_n}成等比數列，請寫出f（p，k）滿足的一個條件，并寫出相應的通項公式（不必證明）；
（3）當k=1，f（p，k）=p+k時，設T_n=a₁+2a₂+3a₃+…+2a_n+a_n+1，求T_n．

Answer 1

解：（1）由題意，a_n+a_n+1=6•5ⁿ，
∵a₁=p=5，
∴a₂=25，a₃=125
（2）數列{a_n}成等比數列，設公比為q，則a_n=p×q^n-1，
∴a_n+k=p×q^n+k-1，
∴a_n+a_n+k=p×q^n-1+p×q^n+k-1=（1+q^k）×p×q^n-1，
∵a_n+a_n+k=f（p，k）•pⁿ
∴q=p時，f（p，k）=1+p^k時，a_n+a_n+k=（1+p^k）•pⁿ且a_n=pⁿ．
（3）當k=1，f（p，k）=p+k時，a_n+a_n+1=（1+p）pⁿ．
由（2）知，∴T_n=a₁+2a₂+3a₃+…+2a_n+a_n+1=（a₁+a₂）+（a₂+a₃）+…+（a_n+a_n+1）=（1+p）（p+p²+…+pⁿ）
p=1時，T_n=2n；當p≠1且p＞0時，T_n=．
分析：（1）由題意，a_n+a_n+1=6•5ⁿ，利用a₁=p=5，代入計算，即可求得a₂，a₃；
（2）設出公比，利用a_n+a_n+k=f（p，k）•pⁿ，即可得到當f（p，k）=1+p^k時，a_n=pⁿ．
（3）當k=1，f（p，k）=p+k時，a_n+a_n+1=（1+p）pⁿ，再利用分組求和，即可得到結論．
點評：本題考查數列遞推式，考查數列的通項與求和，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．