Question

已知函數(shù)f（x）=

x

，g（x）=aln x，a∈R．
（1）設(shè)h（x）=f（x）-g（x），當(dāng)h（x）存在最小值時(shí)，求最小值φ（a）的解析式；
（2）對(duì)于（1）中的φ（a），證明當(dāng)a∈（0，+∞）時(shí)，φ（a）≤1．

Answer 1

分析：（1）表示出h（x），求導(dǎo)數(shù)h′（x），利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)h（x）的單調(diào)區(qū)間及極值，從而可得其最小值，注意對(duì)a進(jìn)行討論；
（2）用導(dǎo)數(shù)求出φ（a）在（0，+∞）上的最大值即可．

解答：解：（1）由條件知h（x）=

x

-aln x（x＞0）．
∴h′（x）=

1

2 x

-

a

x

=

x -2a

2x

．
①當(dāng)a＞0時(shí)，令h′（x）=0，解得x=4a²，
∴當(dāng)0＜x＜4a²時(shí)，h′（x）＜0，h（x）在（0，4a²）上遞減；
當(dāng)x＞4a²時(shí)，h′（x）＞0，h（x）在（4a²，+∞）上遞增．
∴x=4a²是h（x）在（0，+∞）上的唯一極值點(diǎn)，
且是極小值點(diǎn)，從而也是h（x）的最小值點(diǎn)．
∴最小值φ（a）=h（4a²）=2a-aln 4a²=2a（1-ln 2a）．
②當(dāng)a≤0時(shí)，h′（x）=

x -2a

2x

＞0，h（x）在（0，+∞）上遞增，無最小值．
故h（x）的最小值為φ（a）=2a（1-ln 2a）（a＞0）．
（2）由（1）知φ（a）=2a（1-ln 2a），（a＞0）．
則φ′（a）=-2ln 2a，令φ′（a）=0，解得a=

1

2

．
當(dāng)0＜a＜

1

2

時(shí)，φ′（a）＞0，∴φ（a）在（0，

1

2

）上遞增；
當(dāng)a＞

1

2

時(shí)，φ′（a）＜0，∴φ（a）在（

1

2

，+∞）上遞減．
∴φ（a）在a=

1

2

處取得極大值φ（

1

2

）=1，
∵φ（a）在（0，+∞）上有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，
所以φ（

1

2

）=1也是φ（a）的最大值．
∴當(dāng)a∈（0，+∞）時(shí)，總有φ（a）≤1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，屬中檔題．