Question

已知正數(shù)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿(mǎn)足Sn=

1

8

(a n+2)2（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)bn=

8

an•an+1

，（n∈N^*）且數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，如果T_n＜m²-m-5對(duì)一切n∈N^*成立，求正數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）將已知的Sn=

1

8

(a n+2)2中的n用n-1代替，仿寫(xiě)一個(gè)新的等式，兩個(gè)式子相減，變形得到項(xiàng)的遞推關(guān)系，利用等差數(shù)列的定義判斷出是一個(gè)等差數(shù)列，利用等差數(shù)列 通項(xiàng)公式求出通項(xiàng)．
（II）將a_n代入bn=

8

an•an+1

，將其裂成兩項(xiàng)的差，，利用裂項(xiàng)求和求出T_n，列出關(guān)于m的不等式，求出m的范圍．

解答：解：（I）∵Sn=

1

8

(an+2)2，
∴Sn+1=

1

8

(an+1+2)2，
兩式相減得8a_n+1=a_n+1²-a_n²+4a_n+1-4a_n，∴a_n+1²-a_n²-4a_n+1-4a_n=0，
∴（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-4）=0，
又{a_n}是正數(shù)數(shù)列，
∴a_n+1-a_n-4=0，
∴a_n+1-a_n=4，
∴{a_n}是等差數(shù)列．  
∵S1=

1

8

(a1+2)2，
∴a₁=2，
∴a_n=4n-2，（n∈N^*）．    
（II）∵a_n=4n-2，
∴bn=

2

(2n-1)(2n+1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1

，
∴Tn=b1+b2+…+bn=1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

=1-

1

2n+1

，
∴對(duì)一切n∈N^*，必有T_n＜1．             
故令m²-m-5≥1，
∴m≤-2或m≥3，又m＞0，
∴m≥3．

點(diǎn)評(píng)：解決數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和有關(guān)的問(wèn)題，一般通過(guò)仿寫(xiě)得到新等式，兩個(gè)式子相減得到關(guān)于通項(xiàng)的遞推關(guān)系再解決；解決數(shù)列的求和問(wèn)題，一般先根據(jù)通項(xiàng)的特點(diǎn)選擇合適的求和方法．