Question

對于函數(shù)f(x)=x2+lg(x+

x2+1

)有以下四個結(jié)論：
①f（x）的定義域為R；
②f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
③f（x）是偶函數(shù)；
④若已知f（a）=m，則f（-a）=2a²-m．
正確的命題是

①②④

．

Answer 1

分析：①根據(jù)真數(shù)大于零，可知x+

x2+1

＞0恒成立，求出定義域為R；②根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判定方法，同增異減，可以判定函數(shù)y=lg（x+

x2+1

）在R上是增函數(shù)，根據(jù)在同一定義域內(nèi)增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù)，可知函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；③舉例說明即可，驗證f（-1）≠f（1），即可說明函數(shù)不是偶函數(shù)；④根據(jù)g（x）=f（x）-x²=lg（x+

x2+1

），利用奇偶性的定義判定函數(shù)是奇函數(shù)，求出g（a）=f（a）-a²=m-a²，從而求得g（-a），進而求得f（-a）的值．

解答：解：①要使函數(shù)有意義，須x+

x2+1

＞0，而x+

x2+1

＞0恒成立，
∴函數(shù)的定義域為R，故①正確；
②已知函數(shù)y=x²在（0，+∞）上是增函數(shù)；下面判定函數(shù)y=lg（x+

x2+1

）也是增函數(shù)，
令t=x+

x2+1

，則y=lgt在（0，+∞）上是增函數(shù)，而t=x+

x2+1

在R上是增函數(shù)，
根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知y=lg（x+

x2+1

）在R上是增函數(shù)，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，故②正確；
③f(-1)=1 +lg(-1+

1+1

)=1 +lg(-1+

2

)，
而f(1)=1 +lg(1+

1+1

)=1 +lg(1+

2

)，
∴f（-1）≠f（1），所以f（x）不是偶函數(shù)，故③錯；
④令g（x）=f（x）-x²=lg（x+

x2+1

），則g（x）+g（-x）=lg（x+

x2+1

）+lg（-x+

(-x)2+1

）
=lg[(x+

x2+1

)(-x+

(-x)2+1

)]=lg1=0，
∴g（-x）=-g（x），即g（x）是奇函數(shù)；
∵f（a）=m，∴g（a）=f（a）-a²=m-a²，
∴g（-a）=-g（a）=-m+a²，
∴f（-a）=g（-a）+a²=2a²-m，故④正確；
故正確的命題是①②④，
故答案為：①②④．

點評：本題是中檔題，考查對數(shù)函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，定義域、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等問題，利用基本函數(shù)的基本性質(zhì)解答問題，是解好數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵．