Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知焦距為4的橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1  (a＞b＞0)左、右頂點(diǎn)分別為A、B，橢圓C的右焦點(diǎn)為F，
過F作一條垂直于x軸的直線與橢圓相交于R、S，若線段RS的長為

10

3

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)Q（t，m）是直線x=9上的點(diǎn)，直線QA、QB與橢圓C分別交于點(diǎn)M、N，求證：直線MN必過x軸上的一定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）依題意，橢圓過點(diǎn)( 2 ， 

5

3

 )，故

4 a2 + 25 9b2 =1 a2-b2=4

，由此能求出橢圓C的方程．
（2）設(shè)Q（9，m），直線QA的方程為y=

m

12

(x+3)，代入橢圓方程，得（80+m²）x²+6x+9m²-720=0，由此入手能夠證明直線MN必過x軸上的定點(diǎn)（1，0）．

解答：解：（1）依題意，橢圓過點(diǎn)( 2 ， 

5

3

 )，
故

4 a2 + 25 9b2 =1 a2-b2=4

，
解得

a2=9 b2=5

．…（3分）
橢圓C的方程為

x2

9

+

y2

5

=1．…（4分）
（2）設(shè)Q（9，m），直線QA的方程為y=

m

12

(x+3)，…（5分）
代入橢圓方程，得（80+m²）x²+6x+9m²-720=0，…（6分）
設(shè)M（x₁，y₁），則-3x1=

9m2-720

m2+80

⇒x1=

240-3m2

m2+80

，…（7分）
y1=

m

12

( x1+3 )=

m

12

( 

240-3m2

m2+80

+3 )=

40m

m2+80

，
故點(diǎn)M的坐標(biāo)為( 

240-3m2

m2+80

 ， 

40m

m2+80

 )．…（8分）
同理，直線QB的方程為y=

m

6

( x-3 )，
代入橢圓方程，得（20+m²）x²-6x+9m²-180=0，
設(shè)N（x₂，y₂），
則3x2=

9m2-180

m2+20

⇒x2=

3m2-60

m2+20

，
y2=

m

6

( x2-3 )=

m

6

( 

3m2-60

m2+20

-3 )=-

20m

m2+20

．
得點(diǎn)N的坐標(biāo)為( 

3m2-60

m2+20

 ， -

20m

m2+20

 )．…（10分）
①若

240-3m2

m2+80

=

3m2-60

m2+20

⇒m2=40時，
直線MN的方程為x=1，與x軸交于（1，0）點(diǎn)；
②若m²≠40，直線MN的方程為y+

20m

m2+20

=

10m

40-m2

( x-

3m2-60

m2+20

 )，
令y=0，解得x=1．
綜上所述，直線MN必過x軸上的定點(diǎn)（1，0）．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查橢圓方程的求法，考查直線必過某定點(diǎn)的證明．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意直線與橢圓位置關(guān)系的靈活運(yùn)用．