Question

9．已知函數(shù)f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期為π．
（1）求ω的值；
（2）求f（x）的單調遞增區(qū)間．
（3）求當x為何值時，函數(shù)取最大值，并求最大值．

Answer 1

分析 （1）先利用二倍角和輔助角公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求ω的值；
（2）將內層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調遞增區(qū)間；
（3）結合三角函數(shù)的圖象和性質，求出f（x）的最大值，即可求x的值．

解答 解：函數(shù)f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）
化簡可得：f（x）=sin2ωx+cos2ωx=$\sqrt{2}$sin（2ωx$+\frac{π}{4}$）
（1）最小正周期為π，即$\frac{2π}{2ω}=π$，解得：ω=1．
（2）由（1）得，f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x$+\frac{π}{4}$）
令 $2kπ-\frac{π}{2}$≤2x$+\frac{π}{4}$≤2k$π+\frac{π}{2}$，（k∈Z）．
解得：$kπ-\frac{3π}{8}$≤x≤$kπ+\frac{π}{8}$，
∴f（x）的單調遞增區(qū)間為[$kπ-\frac{3π}{8}$，$kπ+\frac{π}{8}$]（k∈Z）．
（3）∵sin（2ωx$+\frac{π}{4}$）∈[-1，1]，
∴f（x）∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，
當f（x）的取值最大值$\sqrt{2}$時，即$\sqrt{2}$sin（2x$+\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$，
此時$2x+\frac{π}{4}=2kπ+\frac{π}{2}$，（k∈Z），
解得：$x=kπ+\frac{π}{8}$，（k∈Z），
∴當$x=kπ+\frac{π}{8}$，（k∈Z）時函數(shù)取最大值為$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質的運用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進行化簡是解決本題的關鍵．屬于中檔題．