Question

橢圓

x2

16

+

y2

4

=1上的兩點(diǎn)A、B關(guān)于直線2x-2y-3=0對(duì)稱，則弦AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（　　）

• A、(-1，

  1

  2

  )
• B、(

  1

  2

  ，-1)
• C、(

  1

  2

  ，2)
• D、(2，

  1

  2

  )

Answer 1

分析：設(shè)A（x₁，y₂），B（x₂，y₂），線段AB的中點(diǎn)M（x₀，y₀），則x0=

x1+x2

2

，y0=

y1+y2

2

．由于A、B關(guān)于直線2x-2y-3=0對(duì)稱，可得k_AB=-1，2x₀-2y₀-3=0．把A（x₁，y₂），B（x₂，y₂），代入橢圓的方程可得：

x 2 1

16

+

y 2 1

4

=1，

x 2 2

16

+

y 2 2

4

=1．兩式相減可得x₀=4y₀．聯(lián)立解得即可．

解答：解：設(shè)A（x₁，y₂），B（x₂，y₂），線段AB的中點(diǎn)M（x₀，y₀），則x0=

x1+x2

2

，y0=

y1+y2

2

．
∵A、B關(guān)于直線2x-2y-3=0對(duì)稱，∴k_AB=-1，2x₀-2y₀-3=0．
把A（x₁，y₂），B（x₂，y₂），代入橢圓的方程可得：

x 2 1

16

+

y 2 1

4

=1，

x 2 2

16

+

y 2 2

4

=1．
兩式相減得

(x1+x2)(x1-x2)

16

+

(y1+y2)(y1-y2)

4

=0．
∴

2x0

16

+

2y0

4

×(-1)=0，化為x₀=4y₀．
聯(lián)立

x0=4y0 2x0-2y0-3=0

，解得

x0=2 y0= 1 2

∴弦AB的中點(diǎn)M坐標(biāo)為(2，

1

2

)．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了“點(diǎn)差法”、橢圓上存在關(guān)于已知直線的對(duì)稱點(diǎn)問題，考查了分析問題和解決問題的能力，考查了計(jì)算能力，屬于難題．