Question

（09年江蘇模擬）過點(diǎn)P（1，0）作曲線的切線，切點(diǎn)為M₁，設(shè)M₁在x軸上的投影是點(diǎn)P₁。又過點(diǎn)P₁作曲線C的切線，切點(diǎn)為M₂，設(shè)M₂在x軸上的投影是點(diǎn)P₂，…。依此下去，得到一系列點(diǎn)M₁，M₂…，M_n，…，設(shè)它們的橫坐標(biāo)a₁，a₂，…，a_n，…，構(gòu)成數(shù)列為。

   （1）求證數(shù)列是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；

   （2）求證：；

   （3）當(dāng)的前n項(xiàng)和S_n。

Answer 1

解析：（1）對求導(dǎo)數(shù)，得的切線方程是

                                              

當(dāng)n=1時(shí)，切線過點(diǎn)P（1，0），即0

當(dāng)n>1時(shí)，切線過點(diǎn)，即0

所以數(shù)列

所以數(shù)列                       

   （2）應(yīng)用二項(xiàng)公式定理，得

   

（3）當(dāng)

，

同乘以                        

兩式相減，得

所以