Question

設函數(shù)f(x)=2cos2ωx+sin(2ωx-

π

6

)+a（其中ω＞0，a∈R），且f（x）的圖象在y軸右側的第一個最高點的橫坐標為

π

6

．
（1）求ω的值；
（2）如果f（x）在區(qū)間[

π

6

，

π

3

]上的最小值為

3

，求a的值．

Answer 1

（1）由題意f(x)=1+cos2ωx+sin(2ωx-

π

6

)+a
=1+cos2ωx+（sin2ωxcos

π

6

-cos2ωxsin

π

6

）+a
=1+cos2ωx+

3

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx+a
=1+

1

2

cos2ωx+

3

2

sin2ωx+a
=1+sin

π

6

cos2ωx+cos

π

6

sin2ωx+a
=sin(2ωx+

π

6

)+1+a
∵f（x）的圖象在y軸右側的第一個最高點的橫坐標為

π

6

．
∴當x=

π

6

時，ωx+φ=

π

2

，
即2ω×

π

6

+

π

6

=

π

2

，
∴ω=1．
（2）由（1）知，f(x)=sin(2x+

π

6

)+1+a，
∵

π

6

≤x≤

π

3

∴

π

2

≤2x+

π

6

≤

5π

6

∴當2x+

π

6

=

5π

6

時，f(x)min=

1

2

+1+a=

3

2

+a
又∵f（x）在區(qū)間[

π

6

，

π

3

]上的最小值為

3

∴

3

2

+a=

3

解之得a=

3

-

3

2

，
∴a的值為

3

-

3

2