Question

在區(qū)間[-4，-

1

4

]上，函數(shù)f（x）=-x²+px+q與g（x）=x+

1

x

同時取得相同的最大值，那么函數(shù)f（x）在區(qū)間[-4，-

1

4

]上的最小值為

 

．

Answer 1

分析：由題意得根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷出g（x）在[-4，-1]上單調(diào)遞增，在，[-1，-

1

4

]上單調(diào)遞減，所以g（x）在x=-1是取得最大值為-2．所以f（x）=-x²+px+q在x=-1時取得最大值為-2．解得p=-2，q=-3．
進(jìn)而得到函數(shù)f（x）的解析式求出函數(shù)的最小值．

解答：解：由題意得g′（x）=1-

1

x2

，[-4，-

1

4

]，
令g′（x）＞0解得-4≤x＜-1，令g′（x）＜0解得-1＜x≤-

1

4

，
所以g（x）在[-4，-1]上單調(diào)遞增，在，[-1，-

1

4

]上單調(diào)遞減，
所以g（x）在x=-1是取得最大值為-2．
所以f（x）=-x²+px+q在x=-1時取得最大值為-2．
解得p=-2，q=-3．
可得f（x）=-x²-2x-3，
所以當(dāng)x=-4時函數(shù)f（x）有最小值為-11．
故答案為-11．

點評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練的利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性以及一元二次函數(shù)的性質(zhì)，多以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)在考題中．