對于函數(shù)y=f（x），如果存在區(qū)間[m，n]，同時滿足下列條件：
（1）f（x）在[m，n]上是單調(diào)的；
（2）當定義域是[m，n]時，f（x）的值域也是[m，n]，則稱[m，n]是該函數(shù)的“和諧區(qū)間”．
若函數(shù)f(x)=
a+1
a
-
1
x
(a＞0)存在“和諧區(qū)間”，則實數(shù)a的取值范圍是
0＜a＜1
0＜a＜1
．
分析：由條件知函數(shù)f（x）在（0，+∞）和（-∞，0）上分別單調(diào)遞增，根據(jù)和諧區(qū)間的定義解方程組
f(m)=m
f(n)=n
，即可．
解答：解：由題意可得函數(shù)f(x)=
a+1
a
-
1
x
(a＞0)在區(qū)間[m，n]是單調(diào)遞增的，
∴[m，n]⊆（-∞，0）或[m，n]⊆（0，+∞），則f（m）=m，f（n）=n，
故m、n是方程f（x）=x的兩個同號的不等實數(shù)根，
即
a+1
a
-
1
x
=x，
即方程ax2-（a+1）x+a=0有兩個同號的實數(shù)根，
∵mn=
a
a
=1＞0，
故只需△=（a+1）2-4a2＞0，解得-
1
3
＜a＜1，
∵a＞0，
∴0＜a＜1．
故答案為：0＜a＜1．
點評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用以及一元二次根的取值和分別問題，綜合性較強．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且y=f(x+
π
2
)為偶函數(shù)，對于函數(shù)y=f（x）有下列幾種描述：
①y=f（x）是周期函數(shù)②x=π是它的一條對稱軸；③（-π，0）是它圖象的一個對稱中心；
④當x=
π
2
時，它一定取最大值；其中描述正確的是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

給出下列五個命題：
①函數(shù)y=f（x），x∈R的圖象與直線x=a可能有兩個不同的交點；
②函數(shù)y=log2x2與函數(shù)y=2log2x是相等函數(shù)；
③對于指數(shù)函數(shù)y=2x與冪函數(shù)y=x2，總存在x0，當x＞x0 時，有2x＞x2成立；
④對于函數(shù)y=f（x），x∈[a，b]，若有f（a）•f（b）＜0，則f（x）在（a，b）內(nèi)有零點．
⑤已知x1是方程x+lgx=5的根，x2是方程x+10x=5的根，則x1+x2=5．
其中正確的序號是
③⑤
③⑤
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2010•和平區(qū)一模）函數(shù)y=f（x）是定義在[a，b]上的增函數(shù)，其中a，b∈R，且0＜b＜-a，已知y=f（x）無零點，設(shè)F（x）=f2（x）+f2（-x），則對于函數(shù)y=F（x）有如下四種說法：①定義域是[-b，b]；②最小值是0；③是偶函數(shù)；④在定義域內(nèi)單調(diào)遞增．其中正確的說法是（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2010•上海模擬）對于函數(shù)y=f（x）的圖象上任意兩點A（a，f（a）），B（b，f（b）），設(shè)點C分
AB
的比為λ（λ＞0）．若函數(shù)為f（x）=x2（x＞0），則直線AB必在曲線AB的上方，且由圖象特征可得不等式
a2+λb2
1+λ
＞(
a+λb
1+λ
)2．若函數(shù)為f（x）=log2010x，請分析該函數(shù)的圖象特征，上述不等式可以得到不等式
log2010a+log2010b
1+λ
＜log2010
a+λb
1+λ
log2010a+log2010b
1+λ
＜log2010
a+λb
1+λ
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定義在區(qū)間[-3，3]上的函數(shù)y=f（x）滿足f（-x）+f（x）=0，對于函數(shù)y=f（x）的圖象上任意兩點（x1，f（x1）），（x2，f（x2））都有（x1-x2）•[f（x1）-f（x2）]＜0．若實數(shù)a，b滿足f（a2-2a）+f（2b-b2）≤0，則點（a，b）所在區(qū)域的面積為（　�。�
A、8B、4C、2D、1

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