Question

已知數列{a_n}中，a₁=2，a₂=4，x=是函數f（x）=a_n-1x³-3[3a_n-a_n+1]x+1（n≥2）的一個極值點．
（I）證明：數列{a_n+1-a_n}是等比數列；
（II）求數列{a_n}的通項公式；
（III）設b_n=a_n-1，，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據x=是函數f（x）的極值點，利用導數知識得出f（）=0，即a _n+1=3a_n-2a _n-1（n≥2）從而構造出即可證明{a _n+1-a_n}是等比數列；
（II）由（I）得{a _n+1-a_n}是等比數列是等比數列，首項為2，根據等比數列的通項公式得：a _n+1-a_n=2ⁿ   利用數列求得即可求數列{a_n}的通項公式
（III）由（II）得b_n=2ⁿ-1結合拆項利用拆項法求和Sn，最后結合數列的單調性即可證明．
解答：解：（I）∵x=是函數f（x）的極值點，
∴f（）=0，即a _n+1=3a_n-2a _n-1（n≥2）…（2分）

∴{a _n+1-a_n}是等比數列；
（I）{a _n+1-a_n}是等比數列是等比數列，首項為2，∴a _n+1-a_n=2ⁿ   …（6分）
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+…+（a_n-a _n-1）=2+2¹+…+2 ^n-1=2ⁿ    …（9分）
（III）∵a_n=2ⁿ，∴b_n=2ⁿ-1∵…（11分）
∴Sn=++…+
=1-，n越大，Sn越大，且當n=1時，Sn=
∴…（14分）
點評：本小題主要考查等比數列、數列與不等式的綜合、數列求和等基礎知識，考查運算求解能力，化歸與轉化思想．屬于基礎題．