Question

已知S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，且S_n=2a_n+n²-3n-2，n=1，2，3…．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{a_n-2n}為等比數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)b_n=a_n•cosnπ，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和P_n；
（Ⅲ）設(shè)cn=

1

an-n

，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求證：Tn＜

37

44

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)S_n=2a_n+n²-3n-2可得到S_n+1的表達(dá)式S_n+1=2a_n+1+（n+1）²-3（n+1）-2，兩式相減可得到a_n+1=2a_n-2n+2整理可得a_n+1-2（n+1）=2（a_n-2n），即數(shù)列{a_n-2n}為等比數(shù)列．
（2）先根據(jù)數(shù)列{a_n-2n}為等比數(shù)列求出a_n的表達(dá)式，再對n分奇偶數(shù)討論可求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和P_n．
（3）將a_n的表達(dá)式代入到cn=

1

an-n

中求出數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可驗(yàn)證當(dāng)n=1時(shí)滿足Tn＜

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44

，然后當(dāng)n≥2時(shí)對Tn=

1

21+1

+

1

22+2

+

1

23+3

+…+

1

2n+n

進(jìn)行放縮可得到Tn＜

1

3

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

=

5

6

-

1

2n

＜

5

6

＜

37

44

得證．

解答：解：（Ⅰ）∵S_n=2a_n+n²-3n-2，
∴S_n+1=2a_n+1+（n+1）²-3（n+1）-2．
∴a_n+1=2a_n-2n+2，∴a_n+1-2（n+1）=2（a_n-2n）．
∴{a_n-2n}是以2為公比的等比數(shù)列；
（Ⅱ）a₁=S₁=2a₁-4，∴a₁=4，∴a₁-2×1=4-2=2．
∴a_n-2n=2ⁿ，∴a_n=2ⁿ+2n．
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，P_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=（b₁+b₃+…+b_n-1）+（b₂+b₄+…+b_n）
=-（2+2×1）-（2³+2×3）-…-[2^n-1+2（n-1）]+（2²+2×2）+（2⁴+2×4）+…+（2ⁿ+2×n）
=

4(1-2n)

1-22

-

2(1-2n)

1-22

+n=

2

3

•(2n-1)+n；
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Pn=-

2n+1+2

3

-(n+1)．
綜上，Pn=

- 2n+1 3 -n- 5 3 ，(n為奇數(shù)) 2 3 •(2n-1)+n，(n為偶數(shù))

；
（Ⅲ）cn=

1

an-n

=

1

2n+n

．
當(dāng)n=1時(shí)，T₁=

1

3

＜

37

44

當(dāng)n≥2時(shí)，Tn=

1

21+1

+

1

22+2

+

1

23+3

+…+

1

2n+n

＜

1

3

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

=

1

3

+

1 4 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

=

1

3

+

1

2

-

1

2n

=

5

6

-

1

2n

＜

5

6

＜

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44

綜上可知：任意n∈N，Tn＜

37

44

．

點(diǎn)評：本題主要考查構(gòu)造等比數(shù)列求通項(xiàng)公式、求數(shù)列的前n項(xiàng)和．考查數(shù)列前n項(xiàng)和的不等式的證明．