Question

（20）如圖，直線l₁：y＝kx（k>0）與直線l₂：y＝－kx之間的陰影區(qū)域（不含邊界）記為W，其左半部分記為W₁，右半部分記為W₂.

（Ⅰ）分別用不等式組表示W₁和W₂；

（Ⅱ）若區(qū)域W中的動點P(x，y)到l₁，l₂的距離之積等于d²，求點P的軌跡C的方程；

（Ⅲ）設不過原點O的直線l與（Ⅱ）中的曲線C相交于M₁，M₂兩點，且與l₁，l₂分別交于M₃，M₄兩點．求證△OM₁M₂的重心與△OM₃M₄的重心重合．

Answer 1

（20）解：（Ⅰ）W₁={(x, y)| kx<y<－kx，x<0}，

W₂={(x, y)|－kx＜y＜kx，x>0}，

（Ⅱ）直線l₁：kx－y＝0，直線l₂：kx＋y＝0，由題意得

,

即.

    由P(x，y)∈W，知k²x²－y²>0，

    所以，即.

所以動點P的軌跡C的方程為.

（Ⅲ）當直線l與x軸垂直時，可設直線l的方程為x＝a（a≠0）．由于直線l，曲線C關于x軸對稱，且l₁與l₂關于x軸對稱，于是M₁M₂，M₃M₄的中點坐標都為（a，0），所以△OM₁M₂，△OM₃M₄的重心坐標都為（，0），即它們的重心重合，

當直線l與x軸不垂直時，設直線l的方程為y=mx+n（n≠0）．

由

得.

由直線l與曲線C有兩個不同交點，可知k²－m²≠0且

△=>0.

設M₁，M₂的坐標分別為(x₁, y₁)，(x₂, y₂)，

則，.

設M₃，M₄的坐標分別為(x₃, y₃)，(x₄，y₄)，

由得,

從而，

所以y₃+y₄=m(x₃+x₄)+2n＝m(x₁+x₂)+2n＝y₁+y₂,

所以

    于是△OM₁M₂的重心與△OM₃M₄的重心也重合．