Question

如圖所示，A，B，C是圓O上的三點，CO的延長線與線段BA的延長線交于圓O外的點D，若

OC

=m

OA

+n

OB

，則m+n的取值范圍是

（-1，0）

．

Answer 1

分析：先利用向量數量積運算性質，將

OC

=m

OA

+n

OB

兩邊平方，消去半徑得m、n的數量關系，利用向量加法的平行四邊形法則，可判斷m+n一定為負值，從而可得正確結果．

解答：解：∵|OC|=|OB|=|OA|，

OC

=m

OA

+n

OB

，
∴

OC

2=（m

OA

+n

OB

） 2=m²

OA

²+n²

OB

²+2mn

OA

•

OB

∴1=m²+n²+2mncos∠AOB
當∠AOB=60°時，m²+n²+mn=1，即（m+n）²-mn=1，即（m+n）²=1+mn＜1，
∴-1＜m+n＜1，當

OA

，

OB

趨近射線OD，由平行四邊形法則

OC

=

OE

+

OF

═m

OA

+n

OB

，此時顯然m＜0，n＞0，且|m|＞|n|，
∴m+n＜0，所以m+n的取值范圍（-1，0）．
故答案為：（-1，0）．

點評：本題主要考查了平面向量的幾何意義，平面向量加法的平行四邊形法則，平面向量基本定理，平面向量數量積運算的綜合運用，排除法解選擇題，難度較大．