Question

已知函數(shù)f（x）=x²-（k-2）x+k²+3k+5有兩個零點：
（1）若函數(shù)的兩個零點是-1和-3，求k的值；
（2）若函數(shù)的兩個零點是α和β，求α²+β²的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意得，函數(shù)的零點就是方程的根，即方程x²-（k-2）x+k²+3k+5=0的兩個根是-1和-3，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得k的值，
（2）由題中條件：“函數(shù)的兩個零點是α和β”得α和β是方程x²-（k-2）x+k²+3k+5=0的兩根，利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出α²+β²，最后結(jié)合根的判別為非負(fù)數(shù)的條件求出一個二次函數(shù)的最值即得．

解答：解：（1）：∵-1和-3是函數(shù)f（x）的兩個零點
∴-1和-3是方程x²-（k-2）x+k²+3k+5=0的兩個實數(shù)根（2分）
則：

-1-3=k-2 -1×(-3)=k2+3k+5

解的k=-2（4分）
（2）：若函數(shù)的兩個零點為α和β，
則α和β是方程x²-（k-2）x+k²+3k+5=0的兩根
∴

a+β=k-2 aβ=k2+3k+5 △=(k-2)2-4×(k2+3k+5)≥0

（7分）
則

α2+β2=(α+β)2-2αβ=-k2-10k-6 -4≤k≤- 4 3

∴α2+β2在區(qū)間[-4，-

4

3

]上的最大值是18，最小值

50

9

（11分）
即：α2+β2的取值范圍為[

50

9

，18]（12分）

點評：本題主要考查了函數(shù)的零點，我們把函數(shù)y=f（x）的圖象與橫軸的交點的橫坐標(biāo)稱為這個函數(shù)的零點（the zero of the function），即方程的根． f（x）的零點就是方程f（x）=0的解．這樣就為我們提供了一個通過函數(shù)性質(zhì)確定方程的途徑．函數(shù)的零點個數(shù)就決定了相應(yīng)方程實數(shù)解的個數(shù)．