Question

已知橢圓（a＞b＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，其離心率為．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，以線段OA，OB為鄰邊作平行四邊形OAPB，其中頂點(diǎn)P在橢圓C上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．求O到直線距離的l最小值．

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知，，
所以3a²=4b²，①（1分）
又點(diǎn)在橢圓C上，
所以，②
由①②解之，得a²=4，b²=3．
故橢圓C的方程為．
（Ⅱ）當(dāng)直線l有斜率時(shí)，設(shè)y=kx+m時(shí)，
則由
消去y得，（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
△=64k²m²-4（3+4k²）（4m²-12）=48（3+4k²-m²）＞0，③
設(shè)A、B、P點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂）、（x₀，y₀），
則：，
由于點(diǎn)P在橢圓C上，所以．
從而，化簡(jiǎn)得4m²=3+4k²，經(jīng)檢驗(yàn)滿足③式．
又點(diǎn)O到直線l的距離為：．
當(dāng)且僅當(dāng)k=0時(shí)等號(hào)成立，
當(dāng)直線l無(wú)斜率時(shí)，由對(duì)稱(chēng)性知，點(diǎn)P一定在x軸上，
從而P點(diǎn)為（-2，0），（2，0），直線l為x=±1，所以點(diǎn)O到直線l的距離為1，
所以點(diǎn)O到直線l的距離最小值為．
分析：（Ⅰ）直接把點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓C的方程，再結(jié)合離心率為求出a，b，c即可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）根據(jù)平行四邊形的特征可得，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系得到k與m的關(guān)系，最后根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得到關(guān)于k的函數(shù)，進(jìn)而利用函數(shù)求最值的方法求出答案即可．
點(diǎn)評(píng)：解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是正確的運(yùn)算并且抓住式子的結(jié)構(gòu)特征利用函數(shù)求最值的方法解決問(wèn)題．