Question

已知拋物線C：y²=2px（p＞0），直線l交此拋物線于不同的兩個(gè)點(diǎn)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂））
（1）當(dāng)直線l過(guò)點(diǎn)M（-p，0）時(shí)，證明y₁•y₂為定值；
（2）當(dāng)y₁y₂=-p時(shí)，直線l是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）記N（p，0），如果直線l過(guò)點(diǎn)M（-p，0），設(shè)線段AB的中點(diǎn)為P，線段PN的中點(diǎn)為Q．問(wèn)是否存在一條直線和一個(gè)定點(diǎn)，使得點(diǎn)Q到它們的距離相等？若存在，求出這條直線和這個(gè)定點(diǎn)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）證明：l過(guò)點(diǎn)M（-p，0）與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，可知其斜率一定存在，
設(shè)l：y=k（x+p），其中k≠0（若k=0時(shí)不合題意），
由得k•y²-2py+2p²k=0，
∴．
（2）①當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l：y=kx+b，其中k≠0（若k=0時(shí)不合題意）．
由得ky²-2py+2pb=0．
∴，從而．
假設(shè)直線l過(guò)定點(diǎn)（x₀，y₀），則y₀=kx₀+b，
從而，得，即，即過(guò)定點(diǎn)（，0）．
②當(dāng)直線l的斜率不存在，設(shè)l：x=x₀，代入y²=2px得y²=2px₀，，
∴，
解得，即，也過(guò)（，0）．
綜上所述，當(dāng)y₁y₂=-p時(shí)，直線l過(guò)定點(diǎn)（，0）．
（3）依題意直線l的斜率存在且不為零，
由（1）得點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為，代入l：y=k（x+p）得，即P（）．
設(shè)Q（x，y），則，消k得，
由拋物線的定義知存在直線，點(diǎn)，點(diǎn)Q到它們的距離相等．
分析：（1）易判斷直線l有斜率且不為0，設(shè)l：y=k（x+p），代入拋物線方程消掉x得y的二次方程，由韋達(dá)定理即可證明；
（2）分情況討論：①當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l：y=kx+b（k≠0），代入拋物線方程消掉x得y的二次方程，由韋達(dá)定理及y₁y₂=-p得b，k的關(guān)系式，假設(shè)直線l過(guò)定點(diǎn)（x₀，y₀），則y₀=kx₀+b，用k消掉b即可得到定點(diǎn)坐標(biāo)；
②當(dāng)直線l的斜率不存在，設(shè)l：x=x₀，代入拋物線方程易求y₁y₂，由已知可求得x₀，可判斷此時(shí)直線也過(guò)該定點(diǎn)；
（3）易判斷直線l存在斜率且不為0，由（1）及中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得y_P，代入直線l方程得x_P，設(shè)Q（x，y），由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得點(diǎn)Q軌跡的參數(shù)方程，消掉參數(shù)k后即得其普通方程，由方程及拋物線定義可得準(zhǔn)線、焦點(diǎn)即為所求；
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線方程、拋物線方程及其位置關(guān)系，考查分類討論思想，考查學(xué)生探究問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，綜合性較強(qiáng)，有難度．