Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=-

1

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，a_n≠0，S_n+1+S_n=3a_n+1+

1

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．
（1）求a_n；
（2）若b_n=log₄|a_n|，T_n=b₁+b₂+…+b_n，則當(dāng)n為何值時(shí)，T_n取最小值？求出該最小值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)條件a₁=-

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，a_n≠0，S_n+1+S_n=3a_n+1+

1

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建立方程組，即可求出a_n；
（2）求出b_n的通項(xiàng)公式，然后根據(jù)數(shù)列和 的特點(diǎn)進(jìn)行判斷．

解答：解析：（1）∵S_n+1+S_n=3a_n+1+

1

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．  ①
∴S_n+S_n-1=3a_n+

1

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．   ②
兩式相減得a_n+1+a_n=3（a_n+1-a_n），
即a_n+1=2a_n（n≥2）．
又∵S₂+S₁=3a₂+

1

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，
∴a₂+2a₁=3a₂+

1

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，
∴a₂=a₁-

1

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=-

1

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，
∴a₂=2a₁，
∴a_n+1=2a_n（n∈N^*）．
∴數(shù)列{a_n}是公比q=2的等比數(shù)列，
∵a₁=-

1

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，
∴a_n=-

1

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•2^n-1=-2^n-8．
（2 ）∵b_n=log₄|-2^n-8|=

1

2

（n-8）．
∴數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，
令b_n≥0得，n≥8，且b₈=0，
∴當(dāng)n=7或8時(shí)，T_n最小，最小值為-14．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列的遞推公式，以及等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，要求熟練掌握相應(yīng)的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力．