Question

16．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，它的圖象關(guān)于直線x=1對稱，且f（x）=x（0＜x≤1），則當(dāng)x∈（5，7]時，y=f（x）的解析式是（　　）

• A． f（x）=2-x
• B． f（x）=x-4
• C． f（x）=6-x
• D． f（x）=x-8

Answer 1

分析 由已知求得函數(shù)的周期，再由對稱性求出x∈（1，3]時的解析式，進(jìn)一步由周期性求得函數(shù)在x∈（5，7]時的解析式．

解答 解：由已知得f（-x）=-f（x），f（1-x）=f（1+x），
則f（1-1-x）=f（1+1+x），即f（2+x）=f（-x）=-f（x），
∴f（2+2+x）=-f（2+x）=-[-f（x）]=f（x）．
∴f（4+x）=f（x）．
可知函數(shù)f（x）的周期為4，
又f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（x）=x（0＜x≤1），
∴當(dāng)x∈[-1，1]時，f（x）=x．
設(shè)x∈（1，3]，則2-x∈[-1，1），∴f（x）=f（2-x）=2-x，
則當(dāng)x∈（5，7]時，x-4∈（1，3]，f（x）=f（x-4）=2-（x-4）=6-x．
故選：C．

點評 本題考查與抽象函數(shù)有關(guān)的函數(shù)解析式的求法，考查了函數(shù)的周期性和對稱性，是中檔題．