Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx（a，b∈R）的圖象過點(diǎn)P（1，2），且在點(diǎn)P處的切線斜率為8．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]的最值．

Answer 1

（Ⅰ）解：∵函數(shù)f（x）的圖象過點(diǎn)P（1，2），
∴f（1）=2．
∴a+b=1．①（2分）
又函數(shù)圖象在點(diǎn)P處的切線斜率為8，
∴f'（1）=8，
又f'（x）=3x²+2ax+b，
∴2a+b=5．②（4分）
解由①②組成的方程組，可得a=4，b=-3．（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f'（x）=3x²+8x-3，
令f'（x）＞0，可得；
令f'（x）＜0，可得．（7分）
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間為．（9分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知f（x）在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．
∴f（x）在區(qū)間[-1，1]的最小值為． （11分）
又f（-1）=6，f（1）=2，
∴f（x）在區(qū)間[-1，1]的最大值為f（-1）=6．
∴函數(shù)f（x）在[-1，1]上的最小值為，最大值為6．（13分）
分析：（I）本題運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，但函數(shù)圖象在某點(diǎn)的切點(diǎn)的斜率需要運(yùn)用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)求出，即可
（II）由導(dǎo)數(shù)性質(zhì)求出f'（x）＞0和f'（x）＜0的x范圍就是函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間
（III）由函數(shù)在區(qū)間[-1，1]上的單調(diào)性：f（x）在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)求出函數(shù)的最值
點(diǎn)評(píng)：此題將高中學(xué)段導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用按層層遞進(jìn)的方式展示出來，既考查學(xué)生的基本能力，在第（III）問考查學(xué)生的函數(shù)最值問題，環(huán)環(huán)相扣，一步錯(cuò)，滿盤輸！