Question

（2012•浦東新區(qū)三模）如圖，弧AEC是半徑為r的半圓，AC為直徑，點(diǎn)E為弧AC的中點(diǎn)，點(diǎn)B和點(diǎn)C為線段AD的三等分點(diǎn)，線段ED 與弧EC交于點(diǎn)G，且cos∠CBG=

4

5

，平面AEC外一點(diǎn)F滿足FC⊥平面BED，F(xiàn)C=2r．
（1）求異面直線ED與FC所成角的大小；
（2）將△FCG（及其內(nèi)部）繞FC所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成一幾何體，求該幾何體的體積．

Answer 1

分析：（1）由FC⊥平面BED，利用線面垂直的性質(zhì)定理可得FC⊥ED，即可得到異面直線ED與FC所成角的大小為90°．
（2）連接GC，在△BGC中，利用余弦定理得：CG²=r²+r²-2r²cos∠CBG=

2

5

r2，由題設(shè)知，所得幾何體為圓錐，分別計(jì)算其其底面積及高為F，即可得到該圓錐的體積V．

解答：解：（1）∵FC⊥平面BED，
ED?平面BED，
∴FC⊥ED，
∴異面直線ED與FC所成角的大小為90°．
（2）連接GC，在△BGC中，由余弦定理得：
CG²=r²+r²-2r²cos∠CBG=

2

5

r2，
由題設(shè)知，所得幾何體為圓錐，其底面積為π•CG2=

2

5

πr2，高為FC=2r．
該圓錐的體積為V=

1

3

×

2

5

πr2×2r=

4

15

πr3．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握線面垂直的性質(zhì)定理、余弦定理、圓錐的體積計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．