Question

設(shè)項(xiàng)數(shù)均為（）的數(shù)列、、前項(xiàng)的和分別為、、.已知，且集合=.

（1）已知，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）若，求和的值，并寫(xiě)出兩對(duì)符合題意的數(shù)列、；

（3）對(duì)于固定的，求證：符合條件的數(shù)列對(duì)（，）有偶數(shù)對(duì).

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）時(shí)，數(shù)列、可以為（不唯一）6,12,16,14；2,8,10,4，時(shí)，數(shù)列對(duì)（，）不存在.（3）證明見(jiàn)解析．

【解析】

試題分析：（1）這實(shí)質(zhì)是已知數(shù)列的前項(xiàng)和，要求通項(xiàng)公式的問(wèn)題，利用關(guān)系來(lái)解決；

（2）注意到，從而，又，故可求出，，這里我們應(yīng)用了整體思維的思想，而要寫(xiě)出數(shù)列對(duì)（，），可通過(guò)列舉法寫(xiě)出；（3）可通過(guò)構(gòu)造法說(shuō)明滿足題意和數(shù)列對(duì)是成對(duì)出現(xiàn)的，即對(duì)于數(shù)列對(duì)（，），構(gòu)造新數(shù)列對(duì)，（），則數(shù)列對(duì)（，）也滿足題意，（要說(shuō)明的是及=且數(shù)列與，與不相同（用反證法，若相同，則，又，則有均為奇數(shù)，矛盾）．

試題解析：（1）時(shí)，

時(shí)，，不適合該式

故，                        4分

（2）

又

得，=46，=26                                    8分

數(shù)列、可以為：

① 16,10,8,12；14,6,2,4       ② 14,6,10,16；12,2,4,8

③ 6,16,14,10；4,12,8,2       ④ 4,14,12,16；2,10,6,8

⑤ 4,12,16,14；2,8,10,6       ⑥ 16,8,12,10；14,4,6,2             10分

（3）令，（）         12分

又=，得

=

所以，數(shù)列對(duì)（，）與（，）成對(duì)出現(xiàn)。         16分

假設(shè)數(shù)列與相同，則由及，得，，均為奇數(shù)，矛盾！

故，符合條件的數(shù)列對(duì)（，）有偶數(shù)對(duì)。                18分

考點(diǎn)：（1）數(shù)列的前項(xiàng)和與的關(guān)系；（2）整體思想與列舉法；（3）構(gòu)造法．