Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=kPA，點(diǎn)E、D分別是AC、PC的中點(diǎn)，EP⊥底面ABC．
（1）求證：ED∥平面PAB；
（2）求直線AB與平面PAC所成的角；
（3）當(dāng)k取何值時(shí)，E在平面PBC內(nèi)的射影恰好為△PBC的重心？

Answer 1

分析：（1）欲證ED∥平面PAB，只需證明ED平行平面PAB內(nèi)的一條直線即可．根據(jù)中位線的性質(zhì)，可知DE∥PA，而DE是平面PAB內(nèi)的一條直線，所以ED∥平面PAB．
（2）直線AB與平面PAC所成的角，也即直線AB與它在平面PAC的射影所成的角，利用EP⊥底面ABC得到面PAC⊥面ABC，可知∴∠BAC為線AB與平面PAC所成的角，在放入等腰直角三角形ABC中解出該角即可．
（3）若E的射影恰好為△PBC的重心G，連接PG并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)M，則EM⊥BC，可證PA=PB=PC，因?yàn)锳B=BC=kPA，把AB，BC用PA表示，在直角三角形PEM和直角三角形PBM中用勾股定理解出PM，MG，可得k的值．

解答：解：（1）∵E、D是中點(diǎn)，∴DE∥PA∴DE∥面PAB
（2）∵PE⊥面ABC∴面PAC⊥面ABC，且面PAC∩面ABC=AC
∴若過(guò)B做平面PAC的垂線，則垂足必落在AC上，
∴∠BAC為線AB與平面PAC所成的角．
又∵AB⊥BC，AB=BC，∴∠BAC=45°
即直線AB與平面PAC所成的角為45°．
（3）∵點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，EP⊥底面ABC，∴PA=PB
若E的射影恰好為△PBC的重心G，連接PG并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)M，則EM⊥BC
∴PB=PC=PA，設(shè)PA=2a，
則AB=BC=2ka，PM=

4-k2

a，GM=

1

3

4-k2

a，EM²=PM•MG
∴EM=

3

3

•

4-k2

a=ka解得k=1

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了立體幾何中線面平行的證明，直線與平面所成角的求法，以及重心的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于立體幾何中的綜合題．