Question

9．已知向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow$|=2，若對任意單位向量$\overrightarrow{e}$，均有|$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{e}$|+|$\overrightarrow$•$\overrightarrow{e}$|≤$\sqrt{6}$，則當$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$取最小值時，向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為arccos（-$\frac{1}{4}$）．

Answer 1

分析 由對任意單位向量$\overrightarrow{e}$，均有|$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{e}$|+|$\overrightarrow$•$\overrightarrow{e}$|≤$\sqrt{6}$，可得|$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{e}$+$\overrightarrow$•$\overrightarrow{e}$|≤$\sqrt{6}$，即|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|≤$\sqrt{6}$，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|≤$\sqrt{6}$，⇒|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|²≤6，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|²≤6，求得$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$取最小值，再求向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角．

解答 解：∵|$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{e}$+$\overrightarrow$•$\overrightarrow{e}$|≤|$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{e}$|+|$\overrightarrow$•$\overrightarrow{e}$|≤$\sqrt{6}$，
且對任意單位向量$\overrightarrow{e}$，均有|$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{e}$|+|$\overrightarrow$•$\overrightarrow{e}$|≤$\sqrt{6}$，則|$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{e}$+$\overrightarrow$•$\overrightarrow{e}$|≤$\sqrt{6}$，
⇒|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|≤$\sqrt{6}$，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|≤$\sqrt{6}$，⇒|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|²≤6，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|²≤6，⇒$-\frac{1}{2}≤\overrightarrow{a}•\overrightarrow≤\frac{1}{2}$．
$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$取最小值為-$\frac{1}{2}$，向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為θ，cos$θ=-\frac{1}{4}$，
向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為arccos（-$\frac{1}{4}$），
故答案為：arccos（-$\frac{1}{4}$）

點評 本題考查了向量三角不等式的應用，屬于難題．