【題目】如圖,已知四棱錐P-ABCD,△PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形,BC∥AD,CD⊥AD,PC=AD=2DC=2CB,E為PD的中點.

(I)證明:CE∥平面PAB;

(II)求直線CE與平面PBC所成角的正弦值

【答案】(I)見解析;(II).

【解析】試題本題主要考查空間點、線、面位置關(guān)系,直線與平面所成的角等基礎(chǔ)知識,同時考查空間想象能力和運算求解能力。滿分15分。

(Ⅰ)取PA中點F,構(gòu)造平行四邊形BCEF,可證明;(Ⅱ)由題意,取BC,AD的中點M,N,可得AD⊥平面PBN,即BC⊥平面PBN,過點QPB的垂線,垂足為H,連結(jié)MH.可知MHMQ在平面PBC上的射影,所以∠QMH是直線CE與平面PBC所成的角.依此可在Rt△MQH中,求∠QMH的正弦值.

試題解析:

(Ⅰ)如圖,設(shè)PA中點為F,連接EF,FB

因為E,F分別為PD,PA中點,所以,

又因為, ,所以,

即四邊形BCEF為平行四邊形,所以,

因此平面PAB

(Ⅱ)分別取BCAD的中點為M,N.連接PNEF于點Q,連接MQ

因為E,FN分別是PD,PA,AD的中點,所以QEF中點,

在平行四邊形BCEF中,MQ//CE

由△PAD為等腰直角三角形得PNAD

DCAD,NAD的中點得BNAD

所以AD⊥平面PBN

BC//ADBC⊥平面PBN,

那么平面PBC⊥平面PBN

過點QPB的垂線,垂足為H,連接MH

MHMQ在平面PBC上的射影,所以∠QMH是直線CE與平面PBC所成的角.

設(shè)CD=1.

在△PCD中,由PC=2,CD=1,PD=CE=

在△PBN中,由PN=BN=1,PB=QH=

在Rt△MQH中,QH=MQ=,

所以sin∠QMH=,

所以直線CE與平面PBC所成角的正弦值是

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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知以M點為圓心的圓及其上一點.

1)設(shè)圓Ny軸相切,與圓M外切,且圓心在直線上,求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程;

2)設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于BC兩點且,求直線l的方程.

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【題目】20189月,臺風(fēng)“山竹”在沿海地區(qū)登陸,小張調(diào)查了當(dāng)?shù)啬承^(qū)的100戶居民由于臺風(fēng)造成的經(jīng)濟損失,將收集到的數(shù)據(jù)分成五組:,,單位:千元,并作出如下頻率分布直方圖

經(jīng)濟損失不超過4千元

經(jīng)濟損失超過4千元

合計

捐款超過

500

60

捐款不超

500

10

合計

1臺風(fēng)后居委會號召小區(qū)居民為臺風(fēng)重災(zāi)區(qū)捐款,小張調(diào)查的100戶居民捐款情況如表格,在表格空白處填寫正確數(shù)字,并說明是否有以上的把握認(rèn)為捐款數(shù)額多于或少于500元和自身經(jīng)濟損失是否到4千元有關(guān)?

2將上述調(diào)查得到的頻率視為概率,現(xiàn)在從該地區(qū)大量受災(zāi)居民中,采用隨機抽樣的方法每次抽取一戶居民,連抽3次,記被抽取的3戶居民中自身經(jīng)濟損失超過4千元的戶數(shù)為,若每次抽取的結(jié)果是相互獨立的,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

附:臨界值表:

k

隨機變量:,其中

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【題目】某快遞公司收取快遞費用的標(biāo)準(zhǔn)是:重量不超過的包裹收費元;重量超過的包裹,除收費元之外,超過的部分,每超出(不足,按計算)需再收元.

該公司將近天,每天攬件數(shù)量統(tǒng)計如下:

包裹件數(shù)范圍

包裹件數(shù)

(近似處理)

天數(shù)

(1)某人打算將, 三件禮物隨機分成兩個包裹寄出,求該人支付的快遞費不超過元的概率;

(2)該公司從收取的每件快遞的費用中抽取元作為前臺工作人員的工資和公司利潤,剩余的作為其他費用.前臺工作人員每人每天攬件不超過件,工資元,目前前臺有工作人員人,那么,公司將前臺工作人員裁員人對提高公司利潤是否更有利?

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【題目】設(shè),其中實數(shù)滿足,若的最大值為,則 .

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【題目】從甲、乙兩品種的棉花中各抽測了25根棉花的纖維長度(單位:mm),得到如圖5的莖葉圖,整數(shù)位為莖,小數(shù)位為葉,如27.1mm的莖為27,葉為1.

(1)試比較甲、乙兩種棉花的纖維長度的平均值的大小及方差的大小;(只需寫出估計的結(jié)論,不需說明理由)

(2)將棉花按纖維長度的長短分成七個等級,分級標(biāo)準(zhǔn)如表:

試分別估計甲、乙兩種棉花纖維長度等級為二級的概率;

(3)為進(jìn)一步檢驗甲種棉花的其它質(zhì)量指標(biāo),現(xiàn)從甲種棉花中隨機抽取4根,記為抽取的棉花纖維長度為二級的根數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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