設(shè)橢圓+=1(a>b>0)的左焦點為F,離心率為,過點F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)A,B分別為橢圓的左、右頂點,過點F且斜率為k的直線與橢圓交于C,D兩點.若·+·=8,求k的值.

(1) +=1   (2) k=±

解析解:(1)設(shè)F(-c,0),由=,知a=c.
過點F且與x軸垂直的直線為x=-c,
代入橢圓方程有+=1,
解得y=±,
于是=,解得b=,
又a2-c2=b2,從而a=,c=1,
所以橢圓的方程為+=1.
(2)設(shè)點C(x1,y1),D(x2,y2),
由F(-1,0)得直線CD的方程為y=k(x+1).
由方程組消去y,整理得(2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0,
則x1+x2=-,x1x2=.
因為A(-,0),B(,0),
所以·+·=(x1+,y1)·(-x2,-y2)+(x2+,y2)·(-x1,-y1)=6-2x1x2-2y1y2=6-2x1x2-2k2(x1+1)(x2+1)
=6-(2+2k2)x1x2-2k2(x1+x2)-2k2=6+.
由已知得6+=8,解得k=±.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，已知橢圓＝1(a＞b＞0)的離心率為，且過點A(0，1)．
 
(1)求橢圓的方程；
(2)過點A作兩條互相垂直的直線分別交橢圓于點M、N，求證：直線MN恒過定點P.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，已知點D（0，－2），過點D作拋物線：的切線l,切點A在第二象限。

（1）求切點A的縱坐標；
（2）若離心率為的橢圓恰好經(jīng)過A點，設(shè)切線l交橢圓的另一點為B，若設(shè)切線l,直線OA，OB的斜率為k,,①試用斜率k表示②當取得最大值時求此時橢圓的方程。

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知左焦點為F(-1,0)的橢圓過點E（1,）.過點P(1,1)分別作斜率為k1,k2的橢圓的動弦AB,CD,設(shè)M,N分別為線段AB,CD的中點.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)若P為線段AB的中點,求k1;
(3)若k1+k2=1,求證直線MN恒過定點,并求出定點坐標.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設(shè)拋物線的焦點為，點，線段的中點在拋物線上. 設(shè)動直線與拋物線相切于點，且與拋物線的準線相交于點，以為直徑的圓記為圓．
（1）求的值；
（2）證明：圓與軸必有公共點；
（3）在坐標平面上是否存在定點，使得圓恒過點？若存在，求出的坐標；若不存在，說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知點、，若動點滿足．
（1）求動點的軌跡曲線的方程；
（2）在曲線上求一點，使點到直線：的距離最�。�

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知圓的圓心在坐標原點O，且恰好與直線相切.
(1)求圓的標準方程；
(2)設(shè)點A為圓上一動點，AN軸于N，若動點Q滿足（其中m為非零常數(shù)），試求動點的軌跡方程.
(3)在（2）的結(jié)論下，當時，得到動點Q的軌跡曲線C，與垂直的直線與曲線C交于 B、D兩點，求面積的最大值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖,等邊三角形OAB的邊長為8,且其三個頂點均在拋物線E:x2=2py(p>0)上.

(1)求拋物線E的方程;
(2)設(shè)動直線l與拋物線E相切于點P,與直線y=-1相交于點Q,證明以PQ為直徑的圓恒過y軸上某定點.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知雙曲線的中心為原點，左、右焦點分別為、，離心率為，點是直線上任意一點，點在雙曲線上，且滿足.
（1）求實數(shù)的值；
（2）證明：直線與直線的斜率之積是定值；
（3）若點的縱坐標為，過點作動直線與雙曲線右支交于不同的兩點、，在線段上去異于點、的點，滿足，證明點恒在一條定直線上.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案