若tan(α+β)=2tanα,求證:3sinβ=sin(2α+β).

思路分析:本題存在三角函數(shù)的角的形式的聯(lián)系:β=(α+β)-α,2α+β=(α+β)+α,這是本題的切入點.

證明:∵tan(α+β)=2tanα,∴.

2sinαcos(α+β)=cosαsin(α+β).

又3sinβ=3sin［(α+β)-α］=3sin(α+β)cosα-3cos(α+β)sinα

=3sinαcos(α+β),

sin(2α+β)=sin［(α+β)+α］=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα

=3sinαcos(α+β).

∴3sinβ=sin(2α+β).

    深化升華 綜合法證題是從“已知”看“可知”逐步推向“未知”,它的逐步推理,是在尋找它的必要條件.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

8、觀察下列幾個三角恒等式：
①tan10°tan20°+tan20°tan60°+tan60°tan10°=1；
②tan5°tan100°+tan100°tan（-15°）+tan（-15°）tan5°=1；
③tan13°tan35°+tan35°tan42°+tan42°tan13°=1．
一般地，若tanα，tanβ，tanγ都有意義，你從這三個恒等式中猜想得到的一個結(jié)論為
當α+β+γ=90°時，tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα=1
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若tanα+
1
tanα
=
10
3
，α∈（
π
4
，
π
2
），則sin（2α+
π
4
）的值為（　�。�
A、-
2
10
B、
2
10
C、
5
2
10
D、
7
2
10

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若tanθ•sinθ＜0，且tanθ•cosθ＞0，則θ是（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若tanα=
3
4
，且α是第三象限角．
（1）求sinα與cosα的值．
（2）求tan(2α-
π
4
)的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知α，β∈（0，
π
2
），且sin（α+2β）=
7
5
sinα．
（1）求證：tan（α+β）=6tanβ；
（2）若tanα=3tanβ，求α的值．

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