Question

已知函數f（x）=|x|•（a-x），a∈R．
（1）當a=4時，畫出函數f（x）的大致圖象，并寫出其單調遞增區(qū)間；
（2）若函數f（x）在x∈[0，2]上是單調遞減函數，求實數a的取值范圍；
（3）若不等式|x|•（a-x）≤6對x∈[0，2]恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）a=4時，，
f（x）的圖象如圖所示，
所以其單調遞增區(qū)間為[0，2]．
（2）x∈[0，2]時，
∴f（x）在（-∞，）上單調遞增，在[，+∞）上單調遞減．
又函數f（x）在x∈[0，2]上是單調遞減函數，所以．
解得a≤0．
（3）當x=0時，0≤6成立，所以a∈R；
當0＜x≤2時，，
即，只要
設，則g′（x）=1-，∴g（x）在上遞減，在上遞增，
∴當0＜x≤2時，g（x）_min=g（2）=5．
所以a≤5．
綜上，|x|（a-x）≤6對x∈[0，2]恒成立的實數a的取值范圍是（-∞，5]．
分析：（1）首先對x分類討論，去掉絕對值符號；然后根據二次函數的圖象特征，即可畫出其草圖；而其單調性，觀察圖象顯而易見．
（2）由x∈[0，2]易于把函數f（x）化簡為二次函數，再把其單調減區(qū)間表示出來，進而根據f（x）在x∈[0，2]上是單調遞減函數，可得a的不等式，則a可求．
（3）要用分離參數的方法把a分離出來，需對x=0單獨討論；由于0＜x≤2時，恒成立，則利用導數法求出x+的最小值即可．
點評：二次函數的圖象與性質是解決更復雜函數問題的前提，必須把此基礎打牢；
分離參數法是求解不等式恒成立問題的常用思想方法，它是通過分離參數轉化為不含參數的函數的最值問題求解．