Question

（2013•崇明縣一模）已知函數(shù)f(x)=sin(2x+

π

3

)+sin(2x-

π

3

)+2cos2x-1，x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）當(dāng)x∈[-

π

4

，

π

4

]時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域以及函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）由三角函數(shù)的公式化簡已知函數(shù)可得f（x）=

2

sin(2x+

π

4

)，易得周期；
（2）由x的范圍，結(jié)合不等式的性質(zhì)，一步步可得值域，先求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的定義域可得答案．

解答：解：（1）由三角函數(shù)公式化簡可得
f（x）=

1

2

sin2x+

3

2

cos2x+

1

2

sin2x-

3

2

cos2x+cos2x
=sin2x+cos2x=

2

sin(2x+

π

4

)，
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
（2）∵x∈[-

π

4

，

π

4

]，∴2x+

π

4

∈[-

π

4

，

3

4

π]，
所以sin(2x+

π

4

)∈[-

2

2

，1]，所以f(x)∈[-1，

2

]
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z解得kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

，
結(jié)合定義域可得：函數(shù)的增區(qū)間為[-

π

4

，

π

8

]，
同理可得函數(shù)的減區(qū)間為[

π

8

，

π

4

]

點(diǎn)評(píng)：不同考查三角函數(shù)的公式的應(yīng)用，涉及正弦函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)值域的求解，屬中檔題．