Question

不論θ如何變化，方程y²-6ysinθ-2x-9cos²θ+8cosθ+9=0，都表示頂點在同一曲線上的拋物線，該曲線的方程為

x2

16

+

y2

9

=1

．

Answer 1

分析：將方程y²-6ysinθ-2x-9cos²θ+8cosθ+9=0轉(zhuǎn)化為（y-3sinθ）²=2（x-4cosθ），從而可得其頂點坐標(biāo)為（4cosθ，3sinθ），而（4cosθ，3sinθ）在同一曲線上，消掉參數(shù)θ即可求得該曲線的方程．

解答：解：∵y²-6ysinθ-2x-9cos²θ+8cosθ+9=0，
∴（y-3sinθ）²=2（x-4cosθ），
∴拋物線的頂點坐標(biāo)為（4cosθ，3sinθ），
又拋物線的頂點在同一曲線上，
∴

x=4cosθ y=3sinθ

，消掉參數(shù)θ可得，

x2

16

+

y2

9

=1．
故答案為：

x2

16

+

y2

9

=1．

點評：本題考查橢圓的參數(shù)方程，求得拋物線的頂點坐標(biāo)為（4cosθ，3sinθ）是關(guān)鍵，考查分析轉(zhuǎn)化與綜合應(yīng)用解決問題的能力，屬于中檔題．