如圖，已知圓O的直徑AB=4，定直線L到圓心的距離為4，且直線L⊥直線AB。點P是圓O上異于A、B的任意一點，直線PA、PB分別交L與M、N點。

試建立適當?shù)闹苯亲鴺讼�，解決下列問題：

（1）若∠PAB=30°，求以MN為直徑的圓方程；

（2）當點P變化時，求證：以MN為直徑的圓必過圓O內的一定點。

 

【答案】

（1）；（2）詳見解析

【解析】

試題分析：（1）由已知得，又，則根據(jù)斜率的關系，且過點（2，0），可求，分別求直線與的交點的坐標，進而可求以為直徑的圓的方程；（2）

設，由直線和的方程，分別求與的交點，得，利用勾股定理求以為直徑的圓截軸的弦長為，長度為定值，故圓過定點.（1、該題還可以根據(jù)兩直線的垂直關系設直線方程，斜率分別為和，方法如上；2、對于探索型和開放型題目，大膽的猜想和必要的論證是解決問題非常好的方法）.

試題解析：建立如圖所示的直角坐標系，⊙O的方程為，直線L的方程為.

（1）∵∠PAB=30°，∴點P的坐標為，∴，,將x=4代入，得,∴MN的中點坐標為（4，0），MN=,∴以MN為直徑的圓的方程為,同理，當點P在x軸下方時，所求圓的方程仍是；

（2）設點P的坐標為，∴（），∴，∵，將x=4代入，得，，∴，MN=，MN的中點坐標為，

以MN為直徑的圓截x軸的線段長度為

為定值。∴⊙必過⊙O內定點.

考點：1、直線和圓的方程；2、直線被圓所截的弦長計算方法；3、直線和圓的位置關系.

 

練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網如圖：已知圓O的直徑是2，點C在直徑AB的延長線上，BC=1，點P是圓O上的一個動點，以PC為邊作正三角形PCD，且點D與圓心分別在PC的兩側，求四邊形OPDC面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知圓O的直徑AB=4，定直線L到圓心的距離為4，且直線L垂直直線AB．點P是圓O上異于A、B的任意一點，直線PA、PB分別交L與M、N點．
（Ⅰ）若∠PAB=30°，求以MN為直徑的圓方程；
（Ⅱ）當點P變化時，求證：以MN為直徑的圓必過圓O內的一定點．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知圓O的直徑AB長度為4，點D為線段AB上一點，且AD=
1
3
DB，點C為圓O上一點，且BC=
3
AC．點P在圓O所在平面上的正投影為點D，PD=BD．
（Ⅰ）求證：CD⊥平面PAB；
（Ⅱ）求PD與平面PBC所成的角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•佛山一模）如圖，已知圓O的直徑AB長度為4，點D為線段AB上一點，且AD=
1
3
DB，點C為圓O上一點，且BC=
3
AC．點P在圓O所在平面上的正投影為點D，PD=BD．
（1）求證：CD⊥平面PAB；
（2）求點D到平面PBC的距離．

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年河北衡水中學高三第一次模擬考試文科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

（本題12分）

如圖，已知圓O的直徑AB=4，定直線L到圓心的距離為4，且直線L垂直直線AB。點P是圓O上異于A、B的任意一點，直線PA、PB分別交L與M、N點。

（Ⅰ）若∠PAB=30°，求以MN為直徑的圓方程；

（Ⅱ）當點P變化時，求證：以MN為直徑的圓必過圓O內的一定點。

 

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