Question

已知數(shù)列{a_n}中a₁=3，a₂=5，其前n項和滿足：S_n+S_n-2=2S_n-1+2^n-1（n≥3）．
（1）試求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）令b_n=，T_n是數(shù)列{b_n}的前n項和，證明：T_n＜；
（3）證明：對任意的m∈（0，），均存在n₀∈N^*，使得（2）中的T_n＞m成立．

Answer 1

（1）解：由S_n+S_n-2=2S_n-1+2^n-1（n≥3）得S_n-S_n-1=S_n-1-S_n-2+2^n-1（n≥3），
∴a_n=a_n-1+2^n-1
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₃-a₂）+a₂=2^n-1+2^n-2+…+2²+5=2ⁿ+1（n≥3）
檢驗知n=1、2時，結(jié)論也成立，故a_n=2ⁿ+1；
（2）證明：∵b_n==，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=[（-）+（）+…+]=＜
（3）證明：由（2）可知T_n=，
若T_n＞m，則得，化簡得．
∵m∈（0，），∴1-6m＞0，∴，∴n＞，
當(dāng)＜1，即0＜m＜時，取n₀=1即可，
當(dāng)≥1，即時，則記的整數(shù)部分為S，取n₀=S+1即可，
綜上可知：對任意的m∈（0，），均存在n₀∈N^*，使得（2）中的T_n＞m成立．
分析：（1）由S_n+S_n-2=2S_n-1+2^n-1（n≥3）得a_n=a_n-1+2^n-1（n≥3），利用a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₃-a₂）+a₂，即可求得結(jié)論；
（2）b_n==，從而可求T_n，即可證得結(jié)論；
（3）由（2）可知T_n=，若T_n＞m，則得，化簡得，根據(jù)m∈（0，），可得n＞，分類討論，即可求得結(jié)論．
點評：本題考查數(shù)列的通項與求和，考查不等式的證明，解題的關(guān)鍵是累加法求通項，裂項相消法求和，屬于中檔題．