已知二次函數(shù)f(x)滿足f(x+1)-f(x)=2x(x∈R),且f(0)=1.
(1)求f(x)的解析式;
(2)當x∈[-1,1]時,方程f(x)=2x+m有解,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設g(t)=f(2t+a),t∈[-1,1],求g(t)的最大值.
分析:(1)設二次函數(shù)f(x)的解析式,代入f(x+1)-f(x)=2x和f(0)=1,可求a、b、c的值;
(2)x∈[-1,1]時,方程f(x)=2x+m有解,即x2-3x+1=m在x∈[-1,1]上有解;求出g(x)=x2-3x+1,x∈[-1,1]的值域即是m的取值范圍;
(3)由g(t)=f(2t+a)是二次函數(shù),圖象是拋物線,對稱軸是x=
1-2a
4
,討論對稱軸在閉區(qū)間[-1,1]的左側還是右側,從而確定函數(shù)的最值問題.
解答:解:(1)設f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
代入f(x+1)-f(x)=2x和f(0)=1,
a(x+1)2+b(x+1)+c-ax2-bx-c=2x
c=1
,化簡得
2ax+a+b=2x(x∈R)
c=1
;
∴a=1,b=-1,c=1,∴f(x)的解析式為f(x)=x2-x+1;
(2)當x∈[-1,1]時,方程f(x)=2x+m有解,
即方程x2-3x+1=m在x∈[-1,1]上有解;
令g(x)=x2-3x+1,x∈[-1,1],則g(x)的值域是[-1,5],
所以,m的取值范圍是[-1,5];
(3)∵g(t)=f(2t+a)=4t2+(4a-2)t+a2-a+1,t∈[-1,1];
對稱軸是x=
1-2a
4
,
∴①當
1-2a
4
≥0,即a≤
1
2
時,
g(t)max=g(-1)=4-(4a-2)+a2-a+1=a2-5a+7;
②當
1-2a
4
<0,即a>
1
2
時,
g(t)max=g(1)=4+(4a-2)+a2-a+1=a2+3a+3;
綜上所述,g(t)max=
a2-5a+7   …a≤
1
2
a2+3a+3   …a>
1
2
點評:本題考查了求二次函數(shù)的解析式與二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題,其中(1)是基礎題(2)是中檔題(3)是難題.
練習冊系列答案
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已知二次函數(shù)f(x)=x2+2(m-2)x+m-m2
(I)若函數(shù)的圖象經(jīng)過原點,且滿足f(2)=0,求實數(shù)m的值.
(Ⅱ)若函數(shù)在區(qū)間[2,+∞)上為增函數(shù),求m的取值范圍.

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已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的圖象過點(0,1),且與x軸有唯一的交點(-1,0).
(Ⅰ)求f(x)的表達式;
(Ⅱ)設函數(shù)F(x)=f(x)-kx,x∈[-2,2],記此函數(shù)的最小值為g(k),求g(k)的解析式.

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已知二次函數(shù)f(x)=x2-16x+q+3.
(1)若函數(shù)在區(qū)間[-1,1]上存在零點,求實數(shù)q的取值范圍;
(2)若記區(qū)間[a,b]的長度為b-a.問:是否存在常數(shù)t(t≥0),當x∈[t,10]時,f(x)的值域為區(qū)間D,且D的長度為12-t?請對你所得的結論給出證明.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•廣州一模)已知二次函數(shù)f(x)=x2+ax+m+1,關于x的不等式f(x)<(2m-1)x+1-m2的解集為(m,m+1),其中m為非零常數(shù).設g(x)=
f(x)x-1

(1)求a的值;
(2)k(k∈R)如何取值時,函數(shù)φ(x)=g(x)-kln(x-1)存在極值點,并求出極值點;
(3)若m=1,且x>0,求證:[g(x+1)]n-g(xn+1)≥2n-2(n∈N*).

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(1)已知二次函數(shù)f(x)的圖象與x軸的兩交點為(2,0),(5,0),且f(0)=10,求f(x)的解析式.
(2)已知二次函數(shù)f(x)的圖象的頂點是(-1,2),且經(jīng)過原點,求f(x)的解析式.

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