Question

設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若a比b長(zhǎng)2，b比c長(zhǎng)2，且最大角的正弦值是

3

2

，則△ABC的面積等于（　�。�

• A、15

  3

• B、

  15 3

  2

• C、

  15 3

  4

• D、

  15 3

  8

Answer 1

分析：由已知的a比b長(zhǎng)2，b比c長(zhǎng)2判斷得到a為最大邊，根據(jù)大邊對(duì)大角可得A為最大角，進(jìn)而得到sinA的值為

3

2

，利用特殊角的三角函數(shù)值求出A的度數(shù)，可得cosA的值，然后用c表示出a和b，根據(jù)余弦定理表示出a²，把表示出的a，b及cosA的值代入，可列出關(guān)于c的方程，求出方程的解即可得到c的值，從而確定出a與b的值，然后再由b，c及sinA的值，利用三角形的面積公式即可求出△ABC的面積．

解答：解：由題意a-b=2，且b-c=2，
得到a＞b＞c，可知A＞B＞C，即A為最大角，
所以sinA=

3

2

，所以A=60°或120°，
又A為最大角，所以A=120°，即cosA=-

1

2

，
由a-b=2，b-c=2變形得：a=c+4，b=c+2，
根據(jù)余弦定理a²=b²+c²-2bc•cosA得：
（c+4）²=（c+2）²+c²+c（c+2），
化簡(jiǎn)得：（c-3）（c+2）=0，
解得：c=3或c=-2（舍去），
所以a=7，b=5，又sinA=

3

2

，
則△ABC的面積S=

1

2

bcsinA=

15 3

4

．
故選C

點(diǎn)評(píng)：此題考查了余弦定理，三角形的面積公式以及特殊角的三角函數(shù)值，根據(jù)三角形的邊角關(guān)系得出A為最大角是本題的突破點(diǎn)，熟練掌握定理及公式，牢記特殊角的三角函數(shù)值是解本題的關(guān)鍵．同時(shí)要理解A不能為60°的理由：因?yàn)槿齻�(gè)角互不相等，若A為60°，B和C都比60°小，則三個(gè)角之和小于180°，與三角形的內(nèi)角和定理矛盾，故A不為60°，A應(yīng)為120°．