Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面中，AB⊥AC，AB=AC=a，D為CC₁的中點，

CC1

AC

=λ
（1）λ為何值時，A₁D⊥平面ABD；
（2）當(dāng)A₁D⊥平面ABD時，求C₁到平面ABD的距離；
（3）當(dāng)二面角A-BD-C為60°時，求λ的值．

Answer 1

分析：（1）以

AB

，

AC

，

AA1

為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)

CC1

AC

=λ，分別求出向量

A1D

，

AD

的坐標(biāo)，再根據(jù)A₁D⊥平面ABD，則A₁D⊥AD，則

A1D

•

AD

=0，可構(gòu)造一個關(guān)于λ的方程，解方程即可得到滿足條件的λ值．
（2）由（1）的結(jié)論，我們易得到向量

A1D

，

AD

的坐標(biāo)，代入C₁到平面ABD的距離公式d=|

C1D • A1D

| A1D |

|，即可得到C₁到平面ABD的距離；
（3）取BC中點E，連接AE，可得

AE

為平面BCD的一個法向量，再求出平面ABD的一個法向量，根據(jù)二面角A-BD-C為60°，構(gòu)造關(guān)于λ的方程，解方程即可得到滿足條件的λ的值．

解答：解：以

AB

，

AC

，

AA1

為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系，
則A(0，0，0)，B(a，0，0)，C(0，a，0)，C1(0，a，λa)，D(0，a，

1

2

λa)，A1（0，0，λa）
（1）

A1D

=(0，a，-

λa

2

)，

AD

=(0，a，

λa

2

)
∵A₁D⊥平面ABD∴A₁D⊥AD
∴0+a²-

λ2a2

4

=0有λ=2
（2）λ=2時，

C1D

=(0，0，-a)，

A1D

=（0，a，-a）
∴C1到平面ABD的距離d=|

C1D • A1D

| A1D |

|=

2

2

a
（3）取BC中點E，連接AE，則AE⊥BC，又BB₁⊥AE∴AE⊥平面BCD

AE

=(

a

2

，

a

2

，0)，設(shè)

m

=(x，y，z)為平面ABD的一個法向量
由  

m • AB =0 m • AD =0

得  

x=0 y=- λz 2

取z=1得

m

=(0，-

λ

2

，1)，由cos60°=|

m • AE

| m |•| AE |

|得λ=2

點評：本題考查的知識點是直線與平面垂直的判定，點到平面的距離計算，二面角的平面角及求法，其中建立空間坐標(biāo)系，將空間直線與平面的平行、垂直、夾角問題轉(zhuǎn)化為向量的平行、垂直、夾角問題是解答此類問題的關(guān)鍵．