Question

如圖，四棱錐的底面是直角梯形，，，和是兩個邊長為的正三角形，，為的中點，為的中點．

 (Ⅰ)求證：平面；

 (Ⅱ)求證：平面；

 (Ⅲ)求直線與平面所成角的正弦值．

 

 

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）證明：設為的中點，連接，

則∵，，，

∴四邊形為正方形，∵為的中點，

∴為的交點，∵， ，

  ∵，

∴，，

在三角形中，

，∴

∵，∴平面

 

 

(Ⅱ)方法1：連接，∵為的中點，為中點，∴，

∵平面，平面，∴平面.

方法2：由(Ⅰ)知平面，又，所以過分別做的平行線，以它們做軸，以為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

由已知得： ，，，，，

，

則，，，.

∴∴∵平面，平面，

∴平面；

 

  

                          

(Ⅲ) 設平面的法向量為，直線與平面所成角，

則，即，

解得，令，則平面的一個法向量為，

又

則，

∴直線與平面所成角的正弦值為.

【解析】略