Question

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₁=a，S_n+1=2S_n+n+1，n∈N^*
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）若a=1，b_n=

n

an+1-an

，{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n已知M＞T_n，M∈N^*，求M的最小值．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)n≥2時(shí)，由S_n+1=2S_n+n+1，n∈N^*可得S_n=2S_n-1+n．兩式相減可得a_n+1=2a_n+1．
變形為a_n+1+1=2（a_n+1），于是當(dāng)n≥2且a≠-3時(shí)，數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列，即可得到a_n．
（2）利用（1）和“錯(cuò)位相減法”即可得出．

解答：解：（1）當(dāng)n≥2時(shí)，由S_n+1=2S_n+n+1，n∈N^*可得S_n=2S_n-1+n．
∴a_n+1=2a_n+1．
∴a_n+1+1=2（a_n+1），
∴當(dāng)n≥2且a≠-3時(shí)，數(shù)列{a_n+1}是從第2項(xiàng)開始的等比數(shù)列．
a₂=a+2．
∴an+1=(a+3)•2n-2，
∴an=(a+3)•2n-2-1．
而a₁=a不滿足上式．
當(dāng)a=-3時(shí)，a₁=-3；當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=-1
∴an=

a，n=1 (a+3)•2n-2-1，n≥2

．
（2）由a₁=a=1得a_n=2ⁿ-1（n∈N^*），則bn=

n

2n+1-1-(2n-1)

=

n

2n

．
∴T_n=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n-1

2n-1

+

n

2n

，
2T_n=1+

2

2

+

3

22

+…+

n-1

2n-2

+

n

2n-1

，
兩式相減可得T_n=1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

-

n

2n

=2-

1

2n-1

-

n

2n

＜2．
∴M的最小值是2．

點(diǎn)評：本題考查了利用“n=1時(shí)，a₁=S₁；n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1”求a_n、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“錯(cuò)位相減法”等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了通過靈活變形轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)過的有關(guān)知識解決問題的能力，屬于難題．