Question

如圖，四棱錐S-ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，側(cè)面SAB為等邊三角形．AB=BC=2，CD=1，SD=

7

．
（1）證明：CD⊥SD；
（2）求二面角B-SC-D的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）取AB中點(diǎn)O，連結(jié)DO，則四邊形BCDO為矩形，得到CD⊥OD，連結(jié)SO，推出SO⊥CD，即可證明CD⊥SD．
（2）距離空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面SDC的法向量，平面SBC的法向量，利用空間向量的數(shù)量積，求二面角B-SC-D的余弦值．

解答： 解：（1）如圖取AB中點(diǎn)O，連結(jié)DO，則四邊形BCDO為矩形，∴CD⊥OD，…．…（2分）
連結(jié)SO，則SO⊥AB，…（3分）∵AB∥CD，∴SO⊥CD…（4分）
∴CD⊥平面SOD，∴CD⊥SD…（6分）
（2）依題意，SO=

3

，而SD=

7

，DO=CB=2，故SD²=SO²+OD²，
∴SO⊥OD，
又SO⊥AB，且OD⊥AB，所以可建立如圖空間直角坐標(biāo)系O-xyz．…（7分）
則B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0），S(0，0，

3

)
所以

DC

=(1，0，0)，

SC

=(1，2，-

3

)，

BC

=(0，2，0)
設(shè)平面SDC的法向量

m

=(x1，y1，z1)，
平面SBC的法向量

n

=(x2，y2，z2)，
∴

m • DC =0 m • SC =0

，即

x1=0 x1+2y1- 3 z1=0

，
令y1=

3

，則z₁=2，于是

m

=(0，

3

，2)

又

n • BC =0 n • SC =0

，即

2y2=0 x2+2y2- 3 z2=0

，
令x2=

3

，則z₂=1，于是

n

=(

3

，0，1)…．…（10分）
cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

7

7

．…．…．（11分）
故二面角B-SC-D的余弦值為-

7

7

．…..…（12分）

點(diǎn)評：本題考查直線與平面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用，二面角的平面角的求法，考查空間想象能力以及計算能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．