已知函數(shù)g(x)=px-
p
x
-2lnx
（1）g（x）在其定義域內(nèi)的單調(diào)函數(shù)，求p的取值范圍；
（2）求證：lnx≤x-1（x＞0）
（3）求證：
ln2
22
+
ln3
32
+…+
lnn
n2
＜
1
2
[(n-1)-(
1
22
+
1
32
+…
1
n2
)]（n∈N*，n≥2）
分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得不等式，從而可求p的取值范圍；
（2）設(shè)k（x）=lnx-x+1，證明函數(shù)在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，即可得到結(jié)論；
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，利用放縮法，即可得到結(jié)論．
解答：（1）解：求導(dǎo)函數(shù)，可得g′(x)=
px2-2x+p
x2
（x＞0）
∵g（x）在其定義域內(nèi)的單調(diào)函數(shù)，
∴
p＞0
△=4-4p2≤0
或
p＜0
△=4-4p2≤0
或p=0
∴p≤-1或p≥1或p=0--------------------------------（4分）
（2）證明：設(shè)k（x）=lnx-x+1，則k′(x)=
1
x
-1=
1-x
x
（x＞0）
∴函數(shù)在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=1時(shí)，k（x）取極大值，
∴k（x）≤k（1）=0，即f（x）≤x-1（x＞0）-------------------------------（8分）
（3）證明：由（2）知，lnx≤x-1，又x＞0，有
lnx
x
≤
x-1
x
=1-
1
x
，
令x=n2得
ln(n2)
n2
=
2lnn
n2
＜1-
1
n2
，即
lnn
n2
＜
1
2
(1-
1
n2
)，
∴
ln2
22
+
ln3
32
+…+
lnn
n2
＜
1
2
[(1-
1
22
)+(1-
1
32
)+…+(1-
1
n2
)]
=
1
2
[(n-1)-(
1
22
+
1
32
+…
1
n2
)]--------（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查不等式的證明，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．
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(1)設(shè)函數(shù)f(x)＝h(x)＋(x＞1)，其中b為實(shí)數(shù)

①求證：函數(shù)f(x)具有性質(zhì)P(b)

②求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間

(2)已知函數(shù)g(x)具有性質(zhì)P(2)，給定x1，x2∈(1，＋∞)，x1＜x2，設(shè)m為實(shí)數(shù)，α＝mx1＋(1－m)x2，β＝(1－m)x1＋mx2，且α＞1，β＞1，若|g(α)－g(β)|＜|g(x1)－g(x2)|，求m的取值范圍

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(ⅱ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

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（2）求證：lnx≤x-1（x＞0）
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22
+
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32
+…+
lnn
n2
＜
1
2
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+
1
32
+…
1
n2
)]（n∈N*，n≥2）

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