Question

已知f（x）是定義在R上單調(diào)函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)m，n有：f（m+n）=f（m）•f（n）；且x＞0時(shí)，0＜f（x）＜1．
（1）證明：f（0）=1；
（2）證明：當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＞1；
（3）當(dāng)時(shí)，求使對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立的參數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

證明：（1）在f（m+n）=f（m）•f（n）中，
取m＞0，n=0，
有f（m）=f（m）•f（0），
∵x＞0時(shí)，0＜f（x）＜1，
∴f（0）=1                                               …
（2）設(shè)m=x＜0，n=-x＞0，
則0＜f（-x）＜1，
∴f（m+n）=f（0）=f（x）•f（-x）=1
∴f（x）=＞1，
即x＜0時(shí)，f（x）＞1                                         …
解：（3）∵f（x）是定義在R上單調(diào)函數(shù)，
又f（0）=1＞
∴f（x）是定義域R上的單調(diào)遞減函數(shù)                                                 …
，且由已知f（2）＞0，
∴f（2）=                                …
∴原不等式變?yōu)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/470085.png' />，
即f（x²-2x+a-1）≤f（2）…
∴f（x）是定義域R上的單調(diào)遞減函數(shù)可得，
x²-2x+a-1≥2對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立
即x²-2x+a-3≥0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立
∴△=4-4（a-3）≤0，
∴a≥4                                                    …
分析：（1）令m＞0，n=0，結(jié)合f（m+n）=f（m）•f（n），可證得f（0）=1；
（2）由f（m+n）=f（m）•f（n）；且x＞0時(shí)，0＜f（x）＜1，令m=x＜0，n=-x＞0，結(jié)合（1）中f（0）=1，可證得當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＞1；
（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及（2）中結(jié)論，可將抽象不等式具體化，進(jìn)而根據(jù)二次不等式恒成立問(wèn)題，求出參數(shù)a的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)恒成立問(wèn)題，抽象函數(shù)及其應(yīng)用，難度稍大，是中檔題．